Question

Sea

a_n=6^n+8^n.

Determina el residuo al dividir

a_{83}

entre

49.

Let

a_n=6^n+8^n.

Determine the remainder on dividing

a_{83}

by

49.

Respuesta

Escribe

6=7-1

y

8=7+1

Write

6=7-1

and

8=7+1

Módulo

49,

solo sobreviven los términos constante y lineal de cada expansión binomial

Modulo

49,

only the constant and linear terms of each binomial expansion survive

Módulo

49,

se anula todo término binomial que contenga

7^2

. Como

83

es impar,

6^{83}=(7-1)^{83}\equiv -1+83\cdot7

y

8^{83}=(7+1)^{83}\equiv 1+83\cdot7.

Su suma es congruente con

166\cdot7=1162\equiv35\pmod{49}.

Modulo

49,

every binomial term containing

7^2

vanishes. Since

83

is odd,

6^{83}=(7-1)^{83}\equiv -1+83\cdot7

and

8^{83}=(7+1)^{83}\equiv 1+83\cdot7.

Their sum is congruent to

166\cdot7=1162\equiv35\pmod{49}.