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2025 AMC 12B 第 3 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

3.

若 i=−1i = \sqrt{-1}，求 i(i−1)(i−2)(i−3)i(i-1)(i-2)(i-3) 的值。

What is the value of i(i−1)(i−2)(i−3),i(i-1)(i-2)(i-3), where i=−1?i = \sqrt{-1}?

6−5i6 - 5i

−10i-10i

10i10i

−10-10

1010

答案：D
知识点：复数
难度评级：1130
解答：

i(i−1)=i2−i=−1−ii(i-1) = i^2 - i = -1 - i 且 (i−2)(i−3)=i2−5i+6(i-2)(i-3) = i^2 - 5i + 6 =5−5i= 5 - 5i 因此 (−1−i)(5−5i)=−5+5i−5i+5i2=−5−5=−10. \begin{gathered} (-1-i)(5-5i) = -5 \\ {}+ 5i - 5i \\ {}+ 5i^2 \\ = -5 - 5 = -10. \end{gathered}

所以正确答案是 D。

i(i−1)=i2−i=−1−i,i(i-1) = i^2 - i = -1 - i, and (i−2)(i−3)=i2−5i+6(i-2)(i-3) = i^2 - 5i + 6 =5−5i.= 5 - 5i. Then (−1−i)(5−5i)=−5+5i−5i+5i2=−5−5=−10. \begin{gathered} (-1-i)(5-5i) = -5 \\ {}+ 5i - 5i \\ {}+ 5i^2 \\ = -5 - 5 = -10. \end{gathered}

Thus, the correct answer is D.

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