2025 AMC 12A 第 7 题

Question

在某个外星世界中，生物的最大奔跑速度

v

取决于它的脚趾数

n

和眼睛数

m

。这种关系可以表示为

v = k n^a m^b

厘米每小时，其中

k

，

a

，和

b

是整数常数。在所有生物都有

5

个脚趾的群体中，

\log v = 4 + 2\log m

；在所有生物都有

25

只眼睛的群体中，

\log v = 4 + 4\log n

，其中对数均以

10

为底。

k + a + b

是多少？

In a certain alien world, the maximum running speed

v

of an organism is dependent on its number of toes

n

and number of eyes

m.

The relationship can be expressed as

v = k n^a m^b

centimeters per hour, where

k,

a,

and

b

are integer constants. In a population where all organisms have

5

toes,

\log v = 4 + 2\log m;

and in a population where all organisms have

25

eyes,

\log v = 4 + 4\log n,

where the logarithms are base

10.

What is

k + a + b?

20

21

22

23

24

答案：C

知识点：对数方程组

难度评级：1380

小提示：

取对数：

\log v = \log k + a\log n + b\log m

。

Take logs:

\log v = \log k + a\log n + b\log m

大提示：

令

n = 5

得

b = 2

且

\log k + a\log 5 = 4

；令

m = 25

得

a = 4

。

Setting

n = 5

gives

b = 2

and

\log k + a\log 5 = 4

; setting

m = 25

gives

a = 4

解答：

取对数，

\log v = \log k + a\log n + b\log m

。

当

n = 5

时，式子变为

\log v = (\log k + a\log 5)

+ b\log m

，与

4 + 2\log m

对应，所以

b = 2

，且

\log k + a\log 5 = 4

。

当

m = 25

时，式子变为

\log v = (\log k + b\log 25)

+ a\log n

，与

4 + 4\log n

对应，所以

a = 4

，且

\log k + 2\log 25 = 4

。

因此

\log k = 4 - \log 625

= \log\dfrac{10000}{625}

= \log 16

，所以

k = 16

。于是

k + a + b = 16 + 4 + 2 = 22

。

因此，正确答案是 C。

Taking logarithms,

\log v = \log k + a\log n + b\log m.

With

n = 5,

this reads

\log v = (\log k + a\log 5)

+ b\log m,

matching

4 + 2\log m,

so

b = 2

and

\log k + a\log 5 = 4.

With

m = 25,

it reads

\log v = (\log k + b\log 25)

+ a\log n,

matching

4 + 4\log n,

so

a = 4

and

\log k + 2\log 25 = 4.

Then

\log k = 4 - \log 625

= \log\dfrac{10000}{625}

= \log 16,

so

k = 16.

Hence

k + a + b = 16 + 4 + 2 = 22.

Thus, the correct answer is C.

2025 AMC 12A 第 7 题

答案：C

难度评级：1380

小提示：

大提示：

解答：

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