2025 AMC 12A 第 15 题

Question

如果一个数集满足：只要

x

和

y

是该集合中的元素（不要求互不相同），

x + y

就不是该集合中的元素，则称这个数集为无和集。例如，

\{1, 4, 6\}

和空集是无和集，但

\{2, 4, 5\}

不是。从

\{1, 2, 3, \ldots, 20\}

中取出的无和子集最多可以有多少个元素？

A set of numbers is called sum-free if whenever

x

and

y

are (not necessarily distinct) elements of the set,

x + y

is not an element of the set. For example,

\{1, 4, 6\}

and the empty set are sum-free, but

\{2, 4, 5\}

is not. What is the greatest possible number of elements in a sum-free subset of

\{1, 2, 3, \ldots, 20\}?

8

9

10

11

12

答案：C

知识点：子集极端原理

难度评级：1800

小提示：

集合

\{11, 12, \ldots, 20\}

是无和集

The set

\{11, 12, \ldots, 20\}

is sum-free

大提示：

若

a_1 \lt \cdots \lt a_k

都在

S

中，则差

a_k - a_i

都不在

S

中，从而迫使

2k - 1 \le 20

。

If

a_1 \lt \cdots \lt a_k

are in

S,

the differences

a_k - a_i

are not in

S,

forcing

2k - 1 \le 20

解答：

集合

\{11, 12, \ldots, 20\}

有

10

个元素，并且是无和集，因为其中任意两个元素之和至少为

22 \gt 20

。

为了证明上界，设

a_1 \lt a_2 \lt \cdots \lt a_k

是一个无和子集。对每个

i \lt k

，差

a_k - a_i

不能在

S

中，因为若在，则

(a_k - a_i) + a_i = a_k \in S

，违反无和性。

这

k - 1

个差互不相同，属于

\{1, \ldots, 19\}

，并且与

S

的

k

个元素不相交。所以

k + (k - 1) \le 20

，得到

k \le 10

。

因此，正确答案是 C。

The set

\{11, 12, \ldots, 20\}

has

10

elements and is sum-free, since any two elements sum to at least

22 \gt 20.

For the upper bound, let

a_1 \lt a_2 \lt \cdots \lt a_k

be a sum-free subset. Each difference

a_k - a_i

for

i \lt k

cannot lie in

S,

because

(a_k - a_i) + a_i = a_k \in S

would violate sum-freeness.

These

k - 1

differences are distinct, lie in

\{1, \ldots, 19\},

and are disjoint from the

k

elements of

S.

So

k + (k - 1) \le 20,

giving

k \le 10.

Thus, the correct answer is C.

2025 AMC 12A 第 15 题

答案：C

难度评级：1800

小提示：

大提示：

解答：

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