2023 AMC 12B 第 15 题

Question

设

a

，

b

，和

c

是正整数，满足

\frac{a}{14}+\frac{b}{15}=\frac{c}{210}\text{。}

以下哪些陈述一定为真？

I. 如果

\gcd(a,14)=1

或

\gcd(b,15)=1

，或两者都成立，则

\gcd(c,210)=1

。

II. 如果

\gcd(c,210)=1

，则

\gcd(a,14)=1

或

\gcd(b,15)=1

，或两者都成立。

III.

\gcd(c,210)=1

当且仅当

\gcd(a,14)=\gcd(b,15)=1

。

Suppose

a,

b,

and

c

are positive integers such that

\frac{a}{14}+\frac{b}{15}=\frac{c}{210}.

Which of the following statements are necessarily true?

I. If

\gcd(a,14)=1

or

\gcd(b,15)=1

or both, then

\gcd(c,210)=1.

II. If

\gcd(c,210)=1,

then

\gcd(a,14)=1

or

\gcd(b,15)=1

or both.

III.

\gcd(c,210)=1

if and only if

\gcd(a,14)=\gcd(b,15)=1.

\mathrm{I}

、

\mathrm{II}

和

\mathrm{III}

\mathrm{I},

\mathrm{II},

and

\mathrm{III}

只有

\mathrm{I}

\mathrm{I}

only

只有

\mathrm{I}

和

\mathrm{II}

\mathrm{I}

and

\mathrm{II}

only

只有

\mathrm{III}

\mathrm{III}

only

只有

\mathrm{II}

和

\mathrm{III}

\mathrm{II}

and

\mathrm{III}

only

答案：E

知识点：最大公约数模运算逻辑推理

难度评级：1800

小提示：

清分母得到

c=15a+14b

，所以

c\equiv a\pmod{14}

且

c\equiv -b\pmod{15}

。

Clearing denominators gives

c=15a+14b,

so

c\equiv a\pmod{14}

and

c\equiv -b\pmod{15}

大提示：

因此

2,7

整除

c

当且仅当它们整除

a

；而

3,5

整除

c

当且仅当它们整除

b

。

Hence

2,7

divide

c

iff they divide

a,

and

3,5

divide

c

iff they divide

b

解答：

两边乘以

210

得

c=15a+14b

。因为

15\equiv 1\pmod{14}

，得

c\equiv a\pmod{14}

，所以

\gcd(c,14)=1

当且仅当

\gcd(a,14)=1

。因为

14\equiv -1\pmod{15}

，得

c\equiv -b\pmod{15}

，所以

\gcd(c,15)=1

当且仅当

\gcd(b,15)=1

。又因为

210=14\cdot 15

且

\gcd(14,15)=1

，陈述 III 成立：

\gcd(c,210)=1

当且仅当两者都成立。陈述 II 是 III 的正向推论，因此为真。陈述 I 为假：如果

\gcd(a,14)=1

但

\gcd(b,15)\ne 1

，则

\gcd(c,15)\ne 1

，因而

\gcd(c,210)\ne 1

。只有 II 和 III 为真。

因此，正确答案是 E。

Multiplying by

210

gives

c=15a+14b.

Since

15\equiv 1\pmod{14},

we get

c\equiv a\pmod{14},

so

\gcd(c,14)=1

iff

\gcd(a,14)=1.

Since

14\equiv -1\pmod{15},

we get

c\equiv -b\pmod{15},

so

\gcd(c,15)=1

iff

\gcd(b,15)=1.

As

210=14\cdot 15

with

\gcd(14,15)=1,

statement III follows:

\gcd(c,210)=1

iff both hold. Statement II is the forward implication of III, hence true. Statement I is false: if

\gcd(a,14)=1

but

\gcd(b,15)\ne 1,

then

\gcd(c,15)\ne 1,

so

\gcd(c,210)\ne 1.

Only II and III are true.

Thus, the correct answer is E.

2023 AMC 12B 第 15 题

答案：E

难度评级：1800

小提示：

大提示：

解答：

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