Question

设 $a$ ， $b$ ，和 $c$ 是正整数，满足

$\frac{a}{14}+\frac{b}{15}=\frac{c}{210}.$

以下哪些陈述一定为真？

I. 如果 $\gcd(a,14)=1$ 或 $\gcd(b,15)=1$ ，或两者都成立，则 $\gcd(c,210)=1$ 。

II. 如果 $\gcd(c,210)=1$ ，则 $\gcd(a,14)=1$ 或 $\gcd(b,15)=1$ ，或两者都成立。

III. $\gcd(c,210)=1$ 当且仅当 $\gcd(a,14)=\gcd(b,15)=1$ 。

Suppose $a,$ $b,$ and $c$ are positive integers such that

$\frac{a}{14}+\frac{b}{15}=\frac{c}{210}.$

Which of the following statements are necessarily true?

I. If $\gcd(a,14)=1$ or $\gcd(b,15)=1$ or both, then $\gcd(c,210)=1.$

II. If $\gcd(c,210)=1,$ then $\gcd(a,14)=1$ or $\gcd(b,15)=1$ or both.

III. $\gcd(c,210)=1$ if and only if $\gcd(a,14)=\gcd(b,15)=1.$

I、II 和 III

I, II, and III

只有 I

I only

只有 I 和 II

I and II only

只有 III

III only

只有 II 和 III

II and III only

答案：E

知识点：最大公约数模运算逻辑推理

难度评级：1800

解答：

两边乘以 $210$ 得 $c=15a+14b$ 。因为 $15\equiv 1\pmod{14}$ ，得 $c\equiv a\pmod{14}$ ，所以 $\gcd(c,14)=1$ 当且仅当 $\gcd(a,14)=1$ 。因为 $14\equiv -1\pmod{15}$ ，得 $c\equiv -b\pmod{15}$ ，所以 $\gcd(c,15)=1$ 当且仅当 $\gcd(b,15)=1$ 。又因为 $210=14\cdot 15$ 且 $\gcd(14,15)=1$ ，陈述 III 成立： $\gcd(c,210)=1$ 当且仅当两者都成立。陈述 II 是 III 的正向推论，因此为真。陈述 I 为假：如果 $\gcd(a,14)=1$ 但 $\gcd(b,15)\ne 1$ ，则 $\gcd(c,15)\ne 1$ ，因而 $\gcd(c,210)\ne 1$ 。只有 II 和 III 为真。

因此，正确答案是 E。

Multiplying by $210$ gives $c=15a+14b.$ Since $15\equiv 1\pmod{14},$ we get $c\equiv a\pmod{14},$ so $\gcd(c,14)=1$ iff $\gcd(a,14)=1.$ Since $14\equiv -1\pmod{15},$ we get $c\equiv -b\pmod{15},$ so $\gcd(c,15)=1$ iff $\gcd(b,15)=1.$ As $210=14\cdot 15$ with $\gcd(14,15)=1,$ statement III follows: $\gcd(c,210)=1$ iff both hold. Statement II is the forward implication of III, hence true. Statement I is false: if $\gcd(a,14)=1$ but $\gcd(b,15)\ne 1,$ then $\gcd(c,15)\ne 1,$ so $\gcd(c,210)\ne 1.$ Only II and III are true.

Thus, the correct answer is E.

2023 AMC 12B 第 15 题

答案：E

难度评级：1800

解答：

其他年份的第 15 题