2022 AMC 12A 第 11 题

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11.

求所有满足以下条件的实数

x

的乘积：数轴上

\log_6 x

与

\log_6 9

的距离，等于

\log_6 10

与

1

的距离的两倍。

What is the product of all real numbers

x

such that the distance on the number line between

\log_6 x

and

\log_6 9

is twice the distance on the number line between

\log_6 10

and

1?

10

18

25

36

81

答案：E

知识点：对数绝对值

难度评级：1530

小提示：

\log_6 10-1=\log_6\dfrac{10}{6}=\log_6\dfrac53

。

\log_6 10-1=\log_6\dfrac{10}{6}=\log_6\dfrac53

大提示：

条件为

\left|\log_6\dfrac{x}{9}\right|=\log_6\dfrac{25}{9}

。

The condition is

\left|\log_6\dfrac{x}{9}\right|=\log_6\dfrac{25}{9}

解答：

右侧的距离为

|\log_6 10-1|=\log_6\dfrac53

，所以它的两倍为

2\log_6\dfrac53=\log_6\dfrac{25}{9}

。

因此

\left|\log_6\dfrac{x}{9}\right|=\log_6\dfrac{25}{9}

，得

\dfrac{x}{9}=\dfrac{25}{9}

或

\dfrac{x}{9}=\dfrac{9}{25}

，所以

x=25

或

x=\dfrac{81}{25}

。

它们的乘积为

25\cdot\dfrac{81}{25}=81

。

因此，正确答案是 E。

The right-hand distance is

|\log_6 10-1|=\log_6\dfrac53,

so twice it is

2\log_6\dfrac53=\log_6\dfrac{25}{9}.

Thus

\left|\log_6\dfrac{x}{9}\right|=\log_6\dfrac{25}{9},

giving

\dfrac{x}{9}=\dfrac{25}{9}

or

\dfrac{x}{9}=\dfrac{9}{25},

so

x=25

or

x=\dfrac{81}{25}.

Their product is

25\cdot\dfrac{81}{25}=81.

Thus, the correct answer is E.

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