2021 AMC 12A Fall 第 11 题

Question

考虑两个同心圆，半径分别为

17

和

19

。较大的圆有一条弦，其中一半位于较小圆内。这条较大圆中的弦长是多少？

Consider two concentric circles of radius

17

and

19.

The larger circle has a chord, half of which lies inside the smaller circle. What is the length of the chord in the larger circle?

12\sqrt{2}

10\sqrt{3}

\sqrt{17 \cdot 19}

18

8\sqrt{6}

答案：E

知识点：弦勾股定理

难度评级：1590

小提示：

设弦到圆心的距离为

d

。它的半长是

\sqrt{19^2 - d^2}

，在小圆内的部分半长是

\sqrt{17^2 - d^2}

。

Let the chord be at distance

d

from the center. Its half-length is

\sqrt{19^2 - d^2},

and the part inside the small circle has half-length

\sqrt{17^2 - d^2}

大提示：

“一半位于小圆内”表示内部部分等于整条弦的一半：

2\sqrt{17^2 - d^2} = \sqrt{19^2 - d^2}

。

“Half lies inside” means the inside portion equals half the whole chord:

2\sqrt{17^2 - d^2} = \sqrt{19^2 - d^2}

解答：

设这条弦到共同圆心的距离为

d

。它的总长度为

2\sqrt{361 - d^2}

，位于较小圆内的部分长度为

2\sqrt{289 - d^2}

。

因为弦的一半位于小圆内，

2\sqrt{289 - d^2} = \tfrac{1}{2}\cdot 2\sqrt{361 - d^2}

。平方得

4(289 - d^2) = 361 - d^2

，所以

3d^2 = 795

，

d^2 = 265

。

弦长为

2\sqrt{361 - 265} = 2\sqrt{96} = 8\sqrt{6}

。

所以正确答案是 E。

Let the chord lie at distance

d

from the common center. Its total length is

2\sqrt{361 - d^2},

and the portion inside the smaller circle has length

2\sqrt{289 - d^2}.

Since half the chord lies inside,

2\sqrt{289 - d^2} = \tfrac{1}{2}\cdot 2\sqrt{361 - d^2}.

Squaring gives

4(289 - d^2) = 361 - d^2,

so

3d^2 = 795

and

d^2 = 265.

The chord length is

2\sqrt{361 - 265} = 2\sqrt{96} = 8\sqrt{6}.

Thus, the correct answer is E.

2021 AMC 12A Fall 第 11 题

答案：E

难度评级：1590

小提示：

大提示：

解答：

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