2020 AMC 12A 第 7 题

Question

七个体积分别为

1

、

8

、

27

、

64

、

125

、

216

和

343

立方单位的立方体竖直堆叠成一座塔，其中立方体的体积从下到上递减。除了最底下的立方体外，每个立方体的底面都完全落在它下方立方体的顶面上。这座塔的总表面积（包括底面）是多少平方单位？

Seven cubes, whose volumes are

1,

8,

27,

64,

125,

216,

and

343

cubic units, are stacked vertically to form a tower in which the volumes of the cubes decrease from bottom to top. Except for the bottom cube, the bottom face of each cube lies completely on top of the cube below it. What is the total surface area of the tower (including the bottom) in square units?

644

658

664

720

749

答案：B

知识点：表面积前n项平方和

难度评级：1340

小提示：

这些立方体的边长为

1, 2, \ldots, 7

；分别处理四个竖直侧面和水平面

The cubes have side lengths

1, 2, \ldots, 7;

handle the four vertical faces and the horizontal faces separately

大提示：

从正上方看，所有朝上的水平面积等于底面的

7 \times 7

；从正下方看也一样

Looking straight down, all upward-facing horizontal area equals the base’s

7 \times 7;

the same holds looking up

解答：

这些立方体的边长为

1, 2, \ldots, 7

。边长为

k

的立方体的四个侧面贡献

4k^2

，所以竖直侧面的总面积为

4(1^2 + 2^2 + \cdots + 7^2)

= 4 \cdot 140 = 560

。

从正上方看，每一块朝上的水平面都无重叠地投影到底部的

7 \times 7

正方形上，面积为

49

。从下方看同理，再得到

49

。

总表面积为

560 + 49 + 49 = 658

。

因此，正确答案是 B。

The side lengths are

1, 2, \ldots, 7.

The four side faces of cube

k

contribute

4k^2,

so the vertical faces total

4(1^2 + 2^2 + \cdots + 7^2)

= 4 \cdot 140 = 560.

Viewed from directly above, every upward-facing horizontal patch projects onto the

7 \times 7

base without overlap, giving

49.

Viewed from below, the same is true, giving another

49.

The total surface area is

560 + 49 + 49 = 658.

Thus, B is the correct answer.

2020 AMC 12A 第 7 题

答案：B

难度评级：1340

小提示：

大提示：

解答：

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