2018 AMC 12A 第 12 题

Question

设

S

是从

\{1, 2, \ldots, 12\}

中选出的

6

个整数的集合，且满足：若

a

和

b

是

S

的元素且

a \lt b

，则

b

不是

a

的倍数。

S

中元素的最小可能值是多少？

Let

S

be a set of

6

integers taken from

\{1, 2, \ldots, 12\}

with the property that if

a

and

b

are elements of

S

with

a \lt b,

then

b

is not a multiple of

a.

What is the least possible value of an element of

S?

2

3

4

5

7

答案：C

知识点：整除性抽屉原理极端原理

难度评级：1630

小提示：

把

\{1, \ldots, 12\}

分成若干链，每条链中前一个数整除后一个数：

\{1,2,4,8\}

，

\{3,6,12\}

，

\{5,10\}

，

\{7\}

，

\{9\}

，

\{11\}

。

Group

\{1, \ldots, 12\}

into chains where each number divides the next:

\{1,2,4,8\},

\{3,6,12\},

\{5,10\},

\{7\},

\{9\},

\{11\}

大提示：

每条链至多取一个元素；共有

6

条链，

S

必须每条链正好取一个元素，迫使

7, 9, 11 \in S

。

At most one element comes from each chain; with

6

chains,

S

must use exactly one from each, forcing

7, 9, 11 \in S

解答：

将

\{1, \ldots, 12\}

分成六条整除链

\{1,2,4,8\}

，

\{3,6,12\}

，

\{5,10\}

，

\{7\}

，

\{9\}

，

\{11\}

。因为

S

中不能有一个元素整除另一个元素，所以每条链至多贡献一个元素；需要

6

个元素就迫使每条链正好取一个，因此

7, 9, 11 \in S

。

因为

9 \in S

，所以

3 \notin S

，第二条链贡献

6

或

12

，于是第一条链中既不能选

1

也不能选

2

（它们会整除

6

和

12

）。从第一条链取

4

可以做到：

S = \{4, 5, 6, 7, 9, 11\}

满足条件。因此最小可能元素是

4

。

所以正确答案是 C。

Partition

\{1, \ldots, 12\}

into the six divisibility chains

\{1,2,4,8\},

\{3,6,12\},

\{5,10\},

\{7\},

\{9\},

\{11\}.

Since no element of

S

may divide another, at most one comes from each chain; needing

6

elements forces exactly one from each, so

7, 9, 11 \in S.

Because

9 \in S,

3 \notin S,

so the second chain contributes

6

or

12,

and then neither

1

nor

2

can be chosen from the first chain (they divide

6

and

12

). Taking

4

from the first chain works:

S = \{4, 5, 6, 7, 9, 11\}

has the property. Hence the least possible element is

4.

Thus, the correct answer is C.

2018 AMC 12A 第 12 题

答案：C

难度评级：1630

小提示：

大提示：

解答：

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