2015 AMC 12A 第 12 题

Question

抛物线

y = ax^2 - 2

和

y = 4 - bx^2

与坐标轴恰好交于四个点，这四个点是一只面积为

12

的风筝形的顶点。求

a + b

？

The parabolas

y = ax^2 - 2

and

y = 4 - bx^2

intersect the coordinate axes in exactly four points, and these four points are the vertices of a kite of area

12.

What is

a + b?

1

1.5

2

2.5

3

答案：B

知识点：抛物线筝形坐标几何面积

难度评级：1630

小提示：

两个

y

-截距为

-2

和

4

；两个

x

-截距关于

y

-轴对称

The two

y

-intercepts are

-2

and

4;

the

x

-intercepts are symmetric about the

y

-axis

大提示：

风筝形的两条对角线是竖直距离

6

和

x

-截距之间的水平宽度

The kite’s diagonals are the vertical distance

6

and the horizontal spread of the

x

-intercepts

解答：

两条抛物线的

y

-截距为

-2

和

4

。为了与

x

-轴相交，第一条抛物线开口向上，第二条开口向下，所以它们的

x

-截距为

\pm t

，其中

t \gt 0

。

这个风筝形沿

y

-轴的一条对角线长度为

4 - (-2) = 6

，另一条长度为

2t

。面积为

\dfrac{1}{2}\cdot 6\cdot 2t = 6t = 12

，所以

t = 2

。

因此

x

-截距为

\pm 2

。对第一条抛物线，

0 = a(2)^2 - 2

得

a = \dfrac{1}{2}

；对第二条，

0 = 4 - b(2)^2

得

b = 1

。因此

a + b = 1.5

。

因此，正确答案是 B。

The

y

-intercepts of the two parabolas are

-2

and

4.

To intersect the

x

-axis, the first parabola opens upward and the second opens downward, so their

x

-intercepts are

\pm t

for some

t \gt 0.

The kite has one diagonal of length

4 - (-2) = 6

along the

y

-axis and the other of length

2t.

Its area is

\dfrac{1}{2}\cdot 6\cdot 2t = 6t = 12,

so

t = 2.

Thus the

x

-intercepts are

\pm 2.

For the first parabola,

0 = a(2)^2 - 2

gives

a = \dfrac{1}{2};

for the second,

0 = 4 - b(2)^2

gives

b = 1.

Therefore

a + b = 1.5.

Thus, the correct answer is B.

2015 AMC 12A 第 12 题

答案：B

难度评级：1630

小提示：

大提示：

解答：

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