Question

一个等比数列的前三项为 $\sqrt{3}$ 、 $\sqrt[3]{3}$ 和 $\sqrt[6]{3}$ 。第四项是什么？

The first three terms of a geometric progression are $\sqrt{3},$ $\sqrt[3]{3},$ and $\sqrt[6]{3}.$ What is the fourth term?

$1$

$\sqrt[7]{3}$

$\sqrt[8]{3}$

$\sqrt[9]{3}$

$\sqrt[10]{3}$

把各项写成 $3$ 的幂，前三项为 $3^{1/2}$ 、 $3^{1/3}$ 、 $3^{1/6}$ 。公比是 $\dfrac{3^{1/3}}{3^{1/2}}=3^{-1/6}$ 。

第四项为 $3^{1/6}\cdot3^{-1/6}=3^{0}=1$ 。

所以正确答案是 A。

Writing the terms as powers of $3,$ they are $3^{1/2},$ $3^{1/3},$ $3^{1/6}.$ The common ratio is $\dfrac{3^{1/3}}{3^{1/2}}=3^{-1/6}.$

The fourth term is $3^{1/6}\cdot3^{-1/6}=3^{0}=1.$

Thus, the correct answer is A.