2013 AMC 12B 第 15 题

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15.

数字

2013

被表示为

2013 = \frac{a_1!\,a_2!\cdots a_m!}{b_1!\,b_2!\cdots b_n!}\text{，}

其中

a_1 \ge a_2 \ge \cdots \ge a_m

和

b_1 \ge b_2 \ge \cdots \ge b_n

都是正整数，且

a_1 + b_1

尽可能小。求

|a_1 - b_1|\,

？

The number

2013

is expressed in the form

2013 = \frac{a_1!\,a_2!\cdots a_m!}{b_1!\,b_2!\cdots b_n!},

where

a_1 \ge a_2 \ge \cdots \ge a_m

and

b_1 \ge b_2 \ge \cdots \ge b_n

are positive integers and

a_1 + b_1

is as small as possible. What is

|a_1 - b_1|\,?

1

2

3

4

5

答案：B

知识点：质因数分解阶乘极限情形界定

难度评级：1840

小提示：

分解

2013 = 3\cdot 11\cdot 61

，其最大质因数为

61

。

Factor

2013 = 3\cdot 11\cdot 61;

its largest prime is

61

大提示：

某个

a_i!

必须至少达到

61

，所以

a_1 \ge 61

。但

61!

还含有质因数

59

，必须在分母中约去。

Some

a_i!

must reach

61,

so

a_1 \ge 61;

but

61!

also contains the prime

59,

which must be cancelled from the denominator

解答：

因为

2013 = 3\cdot 11\cdot 61

，分子中至少需要一个

61!

来提供质因数

61

，所以

a_1 \ge 61

。但是

61!

还含有

2013

所不含的质因数

59

，所以分母中必须有

b_1 \ge 59

。因此

a_1 + b_1 \ge 120

。取

a_1 = 61

、

b_1 = 59

，并使用

2013 = \dfrac{61!\,11!\,3!}{59!\,10!\,5!}

，可以达到这个下界。于是

|a_1 - b_1| = 2

。所以正确答案是 B。

Since

2013 = 3\cdot 11\cdot 61,

the numerator needs a factorial at least

61!

to supply the prime

61,

so

a_1 \ge 61.

But

61!

also has a factor of

59,

which

2013

does not, so the denominator needs

b_1 \ge 59.

Thus

a_1 + b_1 \ge 120,

attained by

a_1 = 61,

b_1 = 59

via

2013 = \dfrac{61!\,11!\,3!}{59!\,10!\,5!}.

Then

|a_1 - b_1| = 2.

Thus, the correct answer is B.

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