2011 AMC 12B 第 12 题

Question

如图，一个飞镖盘是被分成若干区域的正八边形。假设飞镖落在盘内任一点的可能性相同。飞镖落在中心正方形内的概率是多少？

A dart board is a regular octagon divided into regions as shown. Suppose that a dart thrown at the board is equally likely to land anywhere on the board. What is the probability that the dart lands within the center square?

\dfrac{\sqrt{2}-1}{2}

\dfrac{1}{4}

\dfrac{2-\sqrt{2}}{2}

\dfrac{\sqrt{2}}{4}

2-\sqrt{2}

答案：A

知识点：几何概率面积分割正多边形

难度评级：1480

小提示：

设八边形边长为

1

，把它分成中心正方形、四个长方形和四个角上的三角形。

Set the octagon’s edge to

1

and split it into the center square, four rectangles, and four corner triangles

大提示：

角上的三角形是直角等腰三角形，直角边长为

\dfrac{\sqrt2}{2}

。

The corner triangles are right isosceles with legs

\dfrac{\sqrt2}{2}

解答：

设八边形边长为

1

。四个角上的三角形是直角等腰三角形，直角边长为

\dfrac{\sqrt2}{2}

，每个面积为

\dfrac14

。四个长方形尺寸为

1

乘

\dfrac{\sqrt2}{2}

，每个面积为

\dfrac{\sqrt2}{2}

，中心正方形面积为

1

。

总面积为

4\cdot\dfrac14+4\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}+1=2+2\sqrt2\text{。}

因此击中中心正方形的概率为

\dfrac{1}{2+2\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2-1}{2}\text{。}

所以正确答案是 A。

Assume the octagon has edge length

1.

The four corner triangles are right isosceles with legs

\dfrac{\sqrt2}{2}

and area

\dfrac14

each. The four rectangles are

1

by

\dfrac{\sqrt2}{2}

with area

\dfrac{\sqrt2}{2}

each, and the center square has area

1.

The total area is

4\cdot\dfrac14+4\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}+1=2+2\sqrt2.

The probability of hitting the center square is

\dfrac{1}{2+2\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2-1}{2}.

Thus, the correct answer is A.

2011 AMC 12B 第 12 题

答案：A

难度评级：1480

小提示：

大提示：

解答：

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