2011 AMC 12A 第 13 题

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13.

三角形

ABC

的边长为

AB = 12

，

BC = 24

，且

AC = 18

。过

\triangle ABC

内心且平行于

\overline{BC}

的直线分别交

\overline{AB}

于

M

，交

\overline{AC}

于

N

。

\triangle AMN

的周长是多少？

Triangle

ABC

has side-lengths

AB = 12,

BC = 24,

and

AC = 18.

The line through the incenter of

\triangle ABC

parallel to

\overline{BC}

intersects

\overline{AB}

at

M

and

\overline{AC}

at

N.

What is the perimeter of

\triangle AMN?

27

30

33

36

42

答案：B

知识点：内切圆、内心与内切圆半径平行线等腰三角形

难度评级：1600

小提示：

设

I

为内心。因为

MN \parallel BC

，所以

\angle MIB

等于

\angle IBC

Let

I

be the incenter. Since

MN \parallel BC,

the angle

\angle MIB

equals

\angle IBC

大提示：

这使得

\triangle MBI

为等腰三角形，且

MB = MI

，同理

NC = NI

That makes

\triangle MBI

isosceles with

MB = MI,

and similarly

NC = NI

解答：

设

I

为内心。因为

\overline{BI}

平分

\angle B

，且

MN \parallel BC

，由内错角可得

\angle MIB = \angle IBC = \angle MBI

，所以

\triangle MBI

是等腰三角形，且

MB = MI

。同理

NC = NI

。

因此

\triangle AMN

的周长为

\begin{gathered} AM + MN + NA \\ = AM + (MI + IN) + NA \\ = AM + MB + NC + NA \\ = AB + AC = 12 + 18 = 30 \end{gathered}\text{。}

因此，正确答案是 B。

Let

I

be the incenter. Because

\overline{BI}

bisects

\angle B

and

MN \parallel BC,

alternate angles give

\angle MIB = \angle IBC = \angle MBI,

so

\triangle MBI

is isosceles with

MB = MI.

Similarly

NC = NI.

Therefore the perimeter of

\triangle AMN

is

\begin{gathered} AM + MN + NA \\ = AM + (MI + IN) + NA \\ = AM + MB + NC + NA \\ = AB + AC = 12 + 18 = 30. \end{gathered}

Thus, the correct answer is B.

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