2007 AMC 12B 第 15 题

Question

等比级数

a+ar+ar^2+\cdots

的和为

7

，其中含

r

的奇次幂的项之和为

3

。求

a+r

。

The geometric series

a+ar+ar^2+\cdots

has a sum of

7,

and the terms involving odd powers of

r

have a sum of

3.

What is

a+r?

\dfrac{4}{3}

\dfrac{12}{7}

\dfrac{3}{2}

\dfrac{7}{3}

\dfrac{5}{2}

答案：E

知识点：等比数列

难度评级：1580

小提示：

偶次幂项之和为

7-3=4

。

The even-power terms sum to

7-3=4

大提示：

奇次幂级数是偶次幂级数的

r

倍，所以

3=r\cdot4

。

The odd-power series is

r

times the even-power series, so

3=r\cdot4

解答：

奇次幂项为

ar+ar^3+\cdots

=r(a+ar^2+\cdots)

，即偶次幂项之和的

r

倍。偶次幂项之和为

7-3=4

。

因此

3=4r

，得

r=\tfrac34

。又

a=7(1-r)=\tfrac74

，

a+r=\dfrac74+\dfrac34=\dfrac52\text{。}

所以正确答案是 E。

The odd-power terms are

ar+ar^3+\cdots

=r(a+ar^2+\cdots),

that is,

r

times the even-power terms. The even-power terms sum to

7-3=4.

So

3=4r,

giving

r=\tfrac34.

Then

a=7(1-r)=\tfrac74,

and

a+r=\dfrac74+\dfrac34=\dfrac52.

Thus, the correct answer is E.

2007 AMC 12B 第 15 题

答案：E

难度评级：1580

小提示：

大提示：

解答：

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