Question

抛物线 $y = ax^2 + bx + c$ 的顶点为 $(p, p)$ ，且 $y$ 轴截距为 $(0, -p)$ ，其中 $p \neq 0$ 。求 $b$ 。

The parabola $y = ax^2 + bx + c$ has vertex $(p, p)$ and $y$ -intercept $(0, -p),$ where $p \neq 0.$ What is $b?$

$-p$

$0$

$2$

$4$

$p$

顶点式为 $y = a(x - p)^2 + p$ 。

当 $x = 0$ 时， $y = ap^2 + p = -p$ ，所以 $ap^2 = -2p$ ，且 $a = -\dfrac{2}{p}$ 。

展开得 $y = a x^2 - 2ap\, x + ap^2 + p$ ，所以 $b = -2ap = -2\left(-\dfrac{2}{p}\right)p = 4$ 。

因此，正确答案是 D。

The vertex form is $y = a(x - p)^2 + p.$

At $x = 0,$ $y = ap^2 + p = -p,$ so $ap^2 = -2p$ and $a = -\dfrac{2}{p}.$

Expanding, $y = a x^2 - 2ap\, x + ap^2 + p,$ so $b = -2ap = -2\left(-\dfrac{2}{p}\right)p = 4.$

Thus, the correct answer is D.