2006 AMC 12B 第 12 题

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12.

抛物线

y = ax^2 + bx + c

的顶点为

(p, p)

，且

y

轴截距为

(0, -p)

，其中

p \neq 0

。求

b

。

The parabola

y = ax^2 + bx + c

has vertex

(p, p)

and

y

-intercept

(0, -p),

where

p \neq 0.

What is

b?

-p

0

2

4

p

答案：D

知识点：抛物线二次方程

难度评级：1530

小提示：

把抛物线写成顶点式

y = a(x - p)^2 + p

。

Write the parabola in vertex form

y = a(x - p)^2 + p

大提示：

利用

y

轴截距求出用

p

表示的

a

，再读出

x

的系数。

Use the

y

-intercept to find

a

in terms of

p,

then read off the coefficient of

x

解答：

顶点式为

y = a(x - p)^2 + p

。

当

x = 0

时，

y = ap^2 + p = -p

，所以

ap^2 = -2p

，且

a = -\dfrac{2}{p}

。

展开得

y = a x^2 - 2ap\, x + ap^2 + p

，所以

b = -2ap = -2\left(-\dfrac{2}{p}\right)p = 4

。

因此，正确答案是 D。

The vertex form is

y = a(x - p)^2 + p.

At

x = 0,

y = ap^2 + p = -p,

so

ap^2 = -2p

and

a = -\dfrac{2}{p}.

Expanding,

y = a x^2 - 2ap\, x + ap^2 + p,

so

b = -2ap = -2\left(-\dfrac{2}{p}\right)p = 4.

Thus, the correct answer is D.

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