2005 AMC 12A 第 7 题

Question

正方形

EFGH

在正方形

ABCD

内，使得

EFGH

的每一边延长后都经过

ABCD

的一个顶点。正方形

ABCD

的边长为

\sqrt{50}

，

E

在

B

和

H

之间，且

BE = 1

。求内正方形

EFGH

的面积。

Square

EFGH

is inside square

ABCD

so that each side of

EFGH

can be extended to pass through a vertex of

ABCD.

Square

ABCD

has side length

\sqrt{50},

E

is between

B

and

H,

and

BE = 1.

What is the area of the inner square

EFGH?

25

32

36

40

42

答案：C

知识点：正方形（几何）勾股定理全等（几何）

难度评级：1460

小提示：

由对称性，四个角上的直角三角形全等。

By symmetry the four corner triangles are congruent right triangles

大提示：

在直角三角形

BCE

中，边

CE = BH = \sqrt{BC^2 - BE^2}

。

In right triangle

BCE,

the leg

CE = BH = \sqrt{BC^2 - BE^2}

解答：

由图形对称性，三角形

ABH

、三角形

BCE

、三角形

CDF

、三角形

DAG

是全等直角三角形。于是

\begin{aligned} &BH = CE = \sqrt{BC^2 - BE^2} \\ &= \sqrt{50 - 1} = 7 \end{aligned}\text{。}

因为

E

在

B

与

H

之间，内正方形边长为

EH = BH - BE = 7 - 1 = 6

。

EFGH

的面积为

6^2 = 36

。

所以正确答案是 C。

By the symmetry of the figure, triangles

ABH,

BCE,

CDF,

and

DAG

are congruent right triangles. Hence

\begin{aligned} &BH = CE = \sqrt{BC^2 - BE^2} \\ &= \sqrt{50 - 1} = 7. \end{aligned}

Since

E

lies between

B

and

H,

the side of the inner square is

EH = BH - BE = 7 - 1 = 6.

Therefore the area of

EFGH

is

6^2 = 36.

Thus, the correct answer is C.

2005 AMC 12A 第 7 题

答案：C

难度评级：1460

小提示：

大提示：

解答：

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