2003 AMC 12B 第 12 题

Question

对所有正偶数

n

，能整除

\begin{aligned} &(n + 1)(n + 3)(n + 5) \\ &\quad {}\cdot (n + 7)(n + 9) \end{aligned}

的最大整数是多少？

What is the largest integer that is a divisor of

\begin{aligned} &(n + 1)(n + 3)(n + 5) \\ &\quad {}\cdot (n + 7)(n + 9) \end{aligned}

for all positive even integers

n?

3

5

11

15

165

答案：D

知识点：整除性最大公约数

难度评级：1530

小提示：

当

n

为偶数时，这些因数是五个连续的奇数

For even

n,

the factors are five consecutive odd numbers

大提示：

任意五个连续奇数中，必有一个是

3

的倍数，也有一个是

5

的倍数

Among any five consecutive odd numbers, one is a multiple of

3

and one is a multiple of

5

解答：

当

n

为偶数时，这五个因数是连续奇数。任意五个连续奇数中至少有一个能被

3

整除，且有一个能被

5

整除，所以乘积总能被

15

整除。

没有更大的整数总是可行：当

n = 20

和

n = 10

时，乘积分别为

21 \cdot 23 \cdot 25 \cdot 27 \cdot 29

和

11 \cdot 13 \cdot 15 \cdot 17 \cdot 19

，它们的最大公因数是

15

。

因此，正确答案是 D。

For even

n,

the five factors are consecutive odd numbers. Among any five consecutive odd numbers, at least one is divisible by

3

and exactly one by

5,

so the product is always divisible by

15.

No larger divisor always works: the products for

n = 10

and

n = 20

are

11 \cdot 13 \cdot 15 \cdot 17 \cdot 19

and

21 \cdot 23 \cdot 25 \cdot 27 \cdot 29,

whose greatest common divisor is

15.

Thus, the correct answer is D.

2003 AMC 12B 第 12 题

答案：D

难度评级：1530

小提示：

大提示：

解答：

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