2003 AMC 12A 第 7 题

Question

有多少个周长为

7

、边长为整数且互不全等的三角形？

How many non-congruent triangles with perimeter

7

have integer side lengths?

1

2

3

4

5

最长边必须小于周长的一半。

The longest side must be less than half the perimeter

最长边至多为

3

。

The longest side is at most

3

设边长为

a\le b\le c

，且

a+b+c=7

。三角形不等式要求

c\lt a+b

，所以

c\lt3.5

，从而

c=3

。

此时

a+b=4

，且

a\le b\le3

得到

1\text{-}3\text{-}3

和

2\text{-}2\text{-}3

两种三角形。

所以正确答案是 B。

Let the sides be

a\le b\le c

with

a+b+c=7.

The triangle inequality requires

c\lt a+b,

so

c\lt3.5,

forcing

c=3.

Then

a+b=4

with

a\le b\le3,

giving the triangles

1\text{-}3\text{-}3

and

2\text{-}2\text{-}3.

Thus, the correct answer is B.

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