2003 AMC 12A 第 11 题

Question

一个正方形和一个等边三角形周长相同。设

A

为正方形外接圆的面积，

B

为三角形外接圆的面积。求

\frac{A}{B}

。

A square and an equilateral triangle have the same perimeter. Let

A

be the area of the circle circumscribed about the square and

B

be the area of the circle circumscribed about the triangle. Find

\frac{A}{B}.

\dfrac{9}{16}

\dfrac{3}{4}

\dfrac{27}{32}

\dfrac{3\sqrt{6}}{8}

1

选一个方便的共同周长，例如

12

。

Choose a convenient common perimeter, such as

12

正方形的外接圆半径是对角线的一半；等边三角形的外接圆半径是

\dfrac{\text{边长}}{\sqrt3}

。

A square’s circumradius is half its diagonal; an equilateral triangle’s is

\dfrac{\text{side}}{\sqrt3}

令共同周长为

12

，则正方形边长为

3

，三角形边长为

4

。

正方形的外接圆半径为

\dfrac{3\sqrt2}{2}

，所以

A=\pi\left(\dfrac{3\sqrt2}{2}\right)^2=\dfrac{9\pi}{2}

。

三角形的外接圆半径为

\dfrac{4}{\sqrt3}

，所以

B=\pi\left(\dfrac{4}{\sqrt3}\right)^2=\dfrac{16\pi}{3}

。

于是

\dfrac{A}{B}=\dfrac{\frac{9}{2}}{\frac{16}{3}}=\dfrac{27}{32}

。

所以正确答案是 C。

Let the common perimeter be

12,

so the square has side

3

and the triangle has side

4.

The square’s circumradius is

\dfrac{3\sqrt2}{2},

so

A=\pi\left(\dfrac{3\sqrt2}{2}\right)^2=\dfrac{9\pi}{2}.

The triangle’s circumradius is

\dfrac{4}{\sqrt3},

so

B=\pi\left(\dfrac{4}{\sqrt3}\right)^2=\dfrac{16\pi}{3}.

Then

\dfrac{A}{B}=\dfrac{\frac{9}{2}}{\frac{16}{3}}=\dfrac{27}{32}.

Thus, the correct answer is C.

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