Question

一个正方形和一个等边三角形周长相同。设 $A$ 为正方形外接圆的面积， $B$ 为三角形外接圆的面积。求 $A/B$ 。

A square and an equilateral triangle have the same perimeter. Let $A$ be the area of the circle circumscribed about the square and $B$ be the area of the circle circumscribed about the triangle. Find $A/B.$

$\dfrac{9}{16}$

$\dfrac{3}{4}$

$\dfrac{27}{32}$

$\dfrac{3\sqrt{6}}{8}$

$1$

答案：C

知识点：外接圆、外心与外接圆半径面积比

难度评级：1500

解答：

令共同周长为 $12$ ，则正方形边长为 $3$ ，三角形边长为 $4$ 。

正方形的外接圆半径为 $\dfrac{3\sqrt2}{2}$ ，所以 $A=\pi\left(\dfrac{3\sqrt2}{2}\right)^2=\dfrac{9\pi}{2}$ 。

三角形的外接圆半径为 $\dfrac{4}{\sqrt3}$ ，所以 $B=\pi\left(\dfrac{4}{\sqrt3}\right)^2=\dfrac{16\pi}{3}$ 。

于是 $\dfrac{A}{B}=\dfrac{9/2}{16/3}=\dfrac{27}{32}$ 。

所以正确答案是 C。

Let the common perimeter be $12,$ so the square has side $3$ and the triangle has side $4.$

The square's circumradius is $\dfrac{3\sqrt2}{2},$ so $A=\pi\left(\dfrac{3\sqrt2}{2}\right)^2=\dfrac{9\pi}{2}.$

The triangle's circumradius is $\dfrac{4}{\sqrt3},$ so $B=\pi\left(\dfrac{4}{\sqrt3}\right)^2=\dfrac{16\pi}{3}.$

Then $\dfrac{A}{B}=\dfrac{9/2}{16/3}=\dfrac{27}{32}.$

Thus, the correct answer is C.

2003 AMC 12A 第 11 题

答案：C

难度评级：1500

解答：

其他年份的第 11 题