Question

有多少个整数 $n$ 使是某个整数的平方？ $\dfrac{n}{20-n}$

For how many integers $n$ is $\dfrac{n}{20-n}$ the square of an integer?

$1$

$2$

$3$

$4$

$10$

答案：D

知识点：完全平方数整除性

难度评级：1490

解答：

令 $\dfrac{n}{20-n}=k^2.$ 解得 $n=\dfrac{20k^2}{k^2+1}.$ 因为 $k^2$ 和 $k^2+1$ 互质，所以 $k^2+1$ 必须整除 $20,$ 这只在 $|k|=0,1,2,3.$ 时发生。

$k$ 的正负不改变 $n;$ 这些值给出 $n=0,$ $10,$ $16,$ 和 $18,$ 共四个值。

所以正确答案是 D。

Set $\dfrac{n}{20-n}=k^2.$ Solving, $n=\dfrac{20k^2}{k^2+1}.$ Since $k^2$ and $k^2+1$ are coprime, $k^2+1$ must divide $20,$ which happens only for $|k|=0,1,2,3.$

The signs of $k$ do not change $n;$ these give $n=0,$ $10,$ $16,$ and $18,$ which is four values.

Thus, the correct answer is D.

2002 AMC 12B 第 12 题

答案：D

难度评级：1490

解答：

其他年份的第 12 题