2002 AMC 12B 第 12 题

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12.

有多少个整数

n

使

\dfrac{n}{20-n}

是某个整数的平方？

For how many integers

n

is

\dfrac{n}{20-n}

the square of an integer?

1

2

3

4

10

答案：D

知识点：完全平方数整除性

难度评级：1490

小提示：

令

\dfrac{n}{20-n}=k^2

，并用

k

表示

n

。

Set

\dfrac{n}{20-n}=k^2

and solve for

n

in terms of

k

大提示：

n=\dfrac{20k^2}{k^2+1}

；因为

\gcd(k^2,k^2+1)=1

，所以

k^2+1

必须整除

20

。

n=\dfrac{20k^2}{k^2+1}

; since

\gcd(k^2,k^2+1)=1,

k^2+1

must divide

20

解答：

令

\dfrac{n}{20-n}=k^2

。解得

n=\dfrac{20k^2}{k^2+1}

。因为

k^2

和

k^2+1

互质，所以

k^2+1

必须整除

20

，这只在

|k|=0,1,2,3

时发生。

k

的正负不改变

n

；这些值给出

n=0

，

10

，

16

，和

18

，共四个值。

所以正确答案是 D。

Set

\dfrac{n}{20-n}=k^2.

Solving,

n=\dfrac{20k^2}{k^2+1}.

Since

k^2

and

k^2+1

are coprime,

k^2+1

must divide

20,

which happens only for

|k|=0,1,2,3.

The signs of

k

do not change

n;

these give

n=0,

10,

16,

and

18,

which is four values.

Thus, the correct answer is D.

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