2000 AMC 12 第 12 题

先试着解答 2000 AMC 12 第 12 题，然后核对你的答案与精心整理的解答，解答来自 LIVE by Po-Shen Loh。你也可以参加完整限时模拟考试、查看全部 2000 AMC 12 解答，或核对答案。

所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

12.

设

A

、

M

和

C

是非负整数，且

A + M + C = 12

。求下式的最大值：

\begin{aligned} &A \cdot M \cdot C + A \cdot M \\ &\quad {}+ M \cdot C + C \cdot A \end{aligned}\text{？}

Let

A,

M,

and

C

be nonnegative integers such that

A + M + C = 12.

What is the maximum value of

\begin{aligned} &A \cdot M \cdot C + A \cdot M \\ &\quad {}+ M \cdot C + C \cdot A? \end{aligned}

62

72

92

102

112

答案：E

知识点：因式分解算术-几何平均不等式最优化

难度评级：1650

小提示：

AMC + AM + MC + CA

= (A + 1)(M + 1)(C + 1)

- (A + M + C) - 1

。

AMC + AM + MC + CA

= (A + 1)(M + 1)(C + 1)

- (A + M + C) - 1

大提示：

三个因数

A+1, M+1, C+1

的和为

15

，所以它们越接近相等，乘积越大。

The three factors

A+1, M+1, C+1

sum to

15,

so their product is largest when they are equal

解答：

注意

\begin{aligned} &AMC + AM + MC + CA \\ &\quad = (A + 1)(M + 1)(C + 1) \\ &\quad {}- (A + M + C) - 1 \end{aligned}\text{。}

因为

A + M + C = 12

，原式等于

(A + 1)(M + 1)(C + 1) - 13

。这三个因数的和为

15

，乘积在它们都等于

5

时最大，等于

5^3 = 125

。

最大值为

125 - 13 = 112

。

因此，正确答案是 E。

Observe that

\begin{aligned} &AMC + AM + MC + CA \\ &\quad = (A + 1)(M + 1)(C + 1) \\ &\quad {}- (A + M + C) - 1. \end{aligned}

Since

A + M + C = 12,

this equals

(A + 1)(M + 1)(C + 1) - 13.

The three factors sum to

15,

so their product is maximized when each equals

5,

giving

5^3 = 125.

The maximum value is

125 - 13 = 112.

Thus, the correct answer is E.

其他年份的第 12 题