Question

两个非零实数 $a$ 和 $b$ 满足 $ab = a - b$ 。求下式的一个可能值： $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} - ab.$

Two non-zero real numbers, $a$ and $b,$ satisfy $ab = a - b.$ Find a possible value of $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} - ab.$

$-2$

$-\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{2}$

$2$

答案：E

知识点：代数变形换元法

难度评级：1530

解答：

通分得 $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} - ab = \frac{a^2 + b^2 - (ab)^2}{ab}.$

在分子中用 $a - b$ 替换 $ab$ ，得 $\begin{gathered} a^2 + b^2 - (a - b)^2 \\ = a^2 + b^2 \\ {}- (a^2 - 2ab + b^2) \\ = 2ab. \end{gathered}$

因此原式等于 $\dfrac{2ab}{ab} = 2$ 。

因此，正确答案是 E。

Combining over a common denominator, $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} - ab = \frac{a^2 + b^2 - (ab)^2}{ab}.$

Replacing $ab$ with $a - b$ in the numerator, $\begin{gathered} a^2 + b^2 - (a - b)^2 \\ = a^2 + b^2 \\ {}- (a^2 - 2ab + b^2) \\ = 2ab. \end{gathered}$

Therefore the expression equals $\dfrac{2ab}{ab} = 2.$

Thus, the correct answer is E.

2000 AMC 12 第 11 题

答案：E

难度评级：1530

解答：

其他年份的第 11 题