2000 AMC 12 第 11 题

Question

两个非零实数

a

和

b

满足

ab = a - b

。求下式的一个可能值：

\frac{a}{b} + \frac{b}{a} - ab\text{。}

Two non-zero real numbers,

a

and

b,

satisfy

ab = a - b.

Find a possible value of

\frac{a}{b} + \frac{b}{a} - ab.

-2

-\dfrac{1}{2}

\dfrac{1}{3}

\dfrac{1}{2}

2

通分：

\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} - ab = \dfrac{a^2 + b^2 - (ab)^2}{ab}

。

Combine over a common denominator:

\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} - ab = \dfrac{a^2 + b^2 - (ab)^2}{ab}

在分子中用

a - b

替换

ab

，再展开。

Replace

ab

with

a - b

in the numerator and expand

通分得

\frac{a}{b} + \frac{b}{a} - ab = \frac{a^2 + b^2 - (ab)^2}{ab}\text{。}

在分子中用

a - b

替换

ab

，得

\begin{gathered} a^2 + b^2 - (a - b)^2 \\ = a^2 + b^2 \\ {}- (a^2 - 2ab + b^2) \\ = 2ab \end{gathered}\text{。}

因此原式等于

\dfrac{2ab}{ab} = 2

。

因此，正确答案是 E。

Combining over a common denominator,

\frac{a}{b} + \frac{b}{a} - ab = \frac{a^2 + b^2 - (ab)^2}{ab}.

Replacing

ab

with

a - b

in the numerator,

\begin{gathered} a^2 + b^2 - (a - b)^2 \\ = a^2 + b^2 \\ {}- (a^2 - 2ab + b^2) \\ = 2ab. \end{gathered}

Therefore the expression equals

\dfrac{2ab}{ab} = 2.

Thus, the correct answer is E.

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