1994 AMC 12 第 3 题

Question

下列式子中有几个恒等于

x^x+x^x

，并且对所有

x\gt0

都成立？

\begin{aligned} \mathrm{I:}\quad&2x^x\\ \mathrm{II:}\quad&x^{2x}\\ \mathrm{III:}\quad&(2x)^x\\ \mathrm{IV:}\quad&(2x)^{2x} \end{aligned}

How many of the following are equal to

x^x+x^x

for all

x\gt0?

\begin{aligned} \mathrm{I:}\quad&2x^x\\ \mathrm{II:}\quad&x^{2x}\\ \mathrm{III:}\quad&(2x)^x\\ \mathrm{IV:}\quad&(2x)^{2x} \end{aligned}

0

1

2

3

4

先合并两个相同的项

First combine the two identical terms

检验改变底数或指数后是否仍保持

2x^x

，并且对每个

x

都成立

Test whether changing the base or exponent preserves

2x^x

for every

x

给定的和为

2x^x

，所以式 I 恒等于它。式 II 在

x=1

时不成立，此时它的值为

1

，而不是

2

。式 III 在

x=2

时不成立，此时它的值为

16

，而不是

8

。式 IV 在

x=1

时不成立，此时它的值为

4

，而不是

2

。因此只有一个式子符合要求。所以正确答案是 B。

The given sum is

2x^x,

so expression I is always equal to it. Expression II fails at

x=1,

where its value is

1

instead of

2.

Expression III fails at

x=2,

where its value is

16

instead of

8.

Expression IV fails at

x=1,

where its value is

4

instead of

2.

Hence only one expression works. Thus the correct answer is B.

其他年份的第 3 题