Respuesta: 349

Solución:

Escribe $z = a + bi$ con $a^2 + b^2 = p,$ así que $p = 2$ o $p \equiv 1 \pmod 4,$ y el par $\{|a|, |b|\}$ queda determinado de manera única. Reemplazar $z$ por $\pm z,$ $\pm\bar{z},$ $\pm iz,$ o $\pm i\bar{z}$ solo cambia los signos de las partes real e imaginaria de $z^3$ o las intercambia, así que podemos tomar $a \gt b \gt 0,$ y las dos longitudes de lado candidatas son $|\operatorname{Re} z^3|$ y $|\operatorname{Im} z^3|.$ Al desarrollar $z^3 = (a^3 - 3ab^2) + (3a^2b - b^3)i$ y factorizar, obtenemos $$\begin{aligned} &\operatorname{Re} z^3 + \operatorname{Im} z^3 \\ &\quad = (a - b)(p + 4ab), \qquad \\ &\operatorname{Re} z^3 - \operatorname{Im} z^3 \\ &\quad = (a + b)(p - 4ab). \end{aligned}$$ El triángulo existe exactamente cuando $\bigl||\operatorname{Re}| - |\operatorname{Im}|\bigr| \lt p$ $\lt |\operatorname{Re}| + |\operatorname{Im}|,$ y esas dos cantidades son, en algún orden, los valores absolutos anteriores. Como $a \gt b$ obliga a $(a - b)(p + 4ab) \gt p,$ toda la condición se reduce a $(a + b)\,|p - 4ab| \lt p.$

Como $a+b\gt\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt p,$ esto requiere $\Delta=|p-4ab|\lt\sqrt p.$ La cota $p=a^2+b^2\lt1000$ da $1\le b\lt a\le31.$ Para cada $b\le21,$ sustituir $p=a^2+b^2$ en $$(a^2+b^2-4ab)^2\lt a^2+b^2$$ y comprobar los enteros $b\lt a\le31$ deja solamente $$\begin{aligned} (a,b,p,\Delta)&=(4,1,17,1), \\ &\quad (7,2,53,3), \\ &\quad (15,4,241,1), \\ &\quad (18,5,349,11). \end{aligned}$$ (Esto también es un tamiz finito directo para cada representación prima posible, en vez de una búsqueda sobre un conjunto de primos no enumerado.) Los valores correspondientes de $(a+b)\Delta$ son $5,27,19,253,$ respectivamente, todos menores que $p;$ ningún otro par satisface siquiera la desigualdad necesaria más débil. Por tanto, el mayor primo posible es $349.$

En efecto, para $z = 18 + 5i$ obtenemos $z^3 = 4482 + 4735i,$ y las longitudes $349,$ $4482,$ $4735$ forman un triángulo válido. La respuesta es $349.$