2022 AIME II Problema 15

Los seis vértices están sobre $\Omega,$ y $O_1B = O_1C = r_1$ y $O_2A = O_2D = r_2$ son cuerdas de $\Omega$ con $r_1 + r_2 = 15$

Escribe cada cuerda como $2R\sin(\text{la mitad de su arco}),$ luego suma y resta las ecuaciones de $16$ y $2$ con transformación de suma a producto, usando ambos hechos que valen $15$

Los seis vértices del hexágono están sobre $\Omega:$ $O_1$ y $O_2$ por hipótesis, y $A, B, C, D$ como puntos de intersección con $\Omega.$ Sea $R$ el radio de $\Omega,$ y sean los arcos determinados por los lados $AB,$ $BO_1,$ $O_1C,$ $CD,$ $DO_2,$ $O_2A$ iguales a $2\alpha, 2\beta, 2\beta, 2\gamma, 2\delta, 2\delta$ (los dos $\beta$ porque las cuerdas $BO_1 = O_1C = r_1,$ el radio de $\omega_1,$ e igualmente $O_2A = O_2D = r_2$), de modo que $\alpha + 2\beta + \gamma + 2\delta = \pi.$ Cada cuerda es igual a $2R\sin(\text{la mitad de su arco}):$ $2R\sin\alpha = 2,$ $2R\sin\gamma = 16,$ y la cuerda $\overline{O_1O_2}$ subtiende $2\beta + 2\gamma + 2\delta,$ dando $2R\sin(\alpha + \sigma) = 15$ donde $\sigma = \beta + \delta.$ La tangencia externa da una segunda ecuación que vale $15:$ $r_1 + r_2 = 2R(\sin\beta + \sin\delta) = 15.$

Como $\gamma = \pi - \alpha - 2\sigma,$ tenemos $\sin\gamma = \sin(\alpha + 2\sigma).$ La transformación de suma a producto da entonces $$\begin{aligned} 18 &= 2R\left[\sin(\alpha + 2\sigma) + \sin\alpha\right] \\ &= 4R\sin(\alpha + \sigma)\cos\sigma \\ &= 30\cos\sigma, \end{aligned}$$ así que $\cos\sigma = \frac{3}{5},$ y de forma similar $14 = 4R\cos(\alpha + \sigma)\sin\sigma$ da $R\cos(\alpha + \sigma) = \frac{35}{8}.$ Combinando con $2R\sin(\alpha + \sigma) = 15$ se obtiene $4R^2 = 225 + \frac{1225}{16},$ así que $R^2 = \frac{4825}{64}.$ Además $15 = 2R(\sin\beta + \sin\delta)$ $= 4R\sin\frac{\sigma}{2}\cos\frac{\beta - \delta}{2}$ con $\sin\frac{\sigma}{2} = \frac{1}{\sqrt{5}},$ así que $\cos\frac{\beta - \delta}{2} = \frac{15\sqrt{5}}{4R}$ y $\cos(\beta - \delta) = \frac{1125}{8R^2} - 1.$

Uniendo el centro de $\Omega$ con los seis vértices se divide el hexágono en seis triángulos, así que su área es $\frac{1}{2}R^2$ ${}\cdot \small \left[\sin 2\alpha + 2\sin 2\beta + 2\sin 2\delta + \sin 2\gamma\right].$ Ahora $R^2(\sin 2\beta + \sin 2\delta)$ $= 2R^2 \sin\sigma\cos(\beta - \delta)$ $= \frac{8}{5}\left(\frac{1125}{8} - R^2\right)$ $= \frac{835}{8},$ mientras que $\sin 2\alpha + \sin 2\gamma$ $= -2\sin 2\sigma \cos\bigl(2(\alpha + \sigma)\bigr)$ $= -2 \cdot \frac{24}{25} \cdot \left(-\frac{95}{193}\right)$ ya que $\cos\bigl(2(\alpha+\sigma)\bigr) = 1 - \frac{2 \cdot 225}{4R^2}$ $= -\frac{95}{193},$ así que $\frac{1}{2}R^2(\sin 2\alpha + \sin 2\gamma)$ $= \frac{1}{2} \cdot \frac{4825}{64} \cdot \frac{912}{965}$ $= \frac{285}{8}.$ El área es $\frac{835}{8} + \frac{285}{8} = 140.$