2015 AIME II Problema 14

Question

Sean

x

y

y

números reales que satisfacen

x^4 y^5 + y^4 x^5 = 810

y

x^3 y^6 + y^3 x^6 = 945.

Evalúa

2x^3 + (xy)^3 + 2y^3.

Let

x

and

y

be real numbers satisfying

x^4 y^5 + y^4 x^5 = 810

and

x^3 y^6 + y^3 x^6 = 945.

Evaluate

2x^3 + (xy)^3 + 2y^3.

Respuesta

Respuesta: 89

Conceptos:simetría (álgebra)sustitución factorización

Nivel de dificultad: 3160

Pista pequeña:

Factoriza las ecuaciones como

x^4y^4(x + y) = 810

y

x^3y^3(x^3 + y^3) = 945,

luego define

s = x + y

y

p = xy

Factor the equations as

x^4y^4(x + y) = 810

and

x^3y^3(x^3 + y^3) = 945,

then set

s = x + y

and

p = xy

Pista grande:

Dividir las ecuaciones da

\frac{s^2 - 3p}{p} = \frac{7}{6},

así que

6s^2 = 25p;

sustituye de vuelta para hallar

s^3

y

p^3

Dividing the equations gives

\frac{s^2 - 3p}{p} = \frac{7}{6},

so

6s^2 = 25p;

substitute back to find

s^3

and

p^3

Solución:

Las ecuaciones se factorizan como

x^4y^4(x + y) = 810

y

x^3y^3(x^3 + y^3) = 945.

Con

s = x + y

y

p = xy,

usando

x^3 + y^3 = s(s^2 - 3p),

se vuelven

p^4 s = 810

y

p^3 s\,(s^2 - 3p) = 945.

Dividiendo,

\begin{aligned} &\frac{s^2 - 3p}{p} = \frac{945}{810} \\ &= \frac{7}{6}, \end{aligned}

así que

6s^2 = 25p.

Sustituyendo

p = \frac{6s^2}{25}

en

p^4 s = 810

da

\left(\frac{6}{25}\right)^4 s^9 = 810,

así que

s^9 = 810 \cdot \frac{390625}{1296} = \frac{1953125}{8},

lo que significa

s^3 = \frac{125}{2}.

Entonces

ps = \frac{6s^3}{25} = 15

y

p^3 = \frac{216 s^6}{25^3} = \frac{\frac{216 \cdot 15625}{4}}{15625} = 54.

Finalmente

\begin{aligned} &2x^3 + (xy)^3 + 2y^3 \\ &= 2(s^3 - 3ps) + p^3 \\ &= 2\left(\frac{125}{2} - 45\right) + 54 \\ &= 35 + 54 = 89. \end{aligned}

The equations factor as

x^4y^4(x + y) = 810

and

x^3y^3(x^3 + y^3) = 945.

With

s = x + y

and

p = xy,

using

x^3 + y^3 = s(s^2 - 3p),

they become

p^4 s = 810

and

p^3 s\,(s^2 - 3p) = 945.

Dividing,

\begin{aligned} &\frac{s^2 - 3p}{p} = \frac{945}{810} \\ &= \frac{7}{6}, \end{aligned}

so

6s^2 = 25p.

Substituting

p = \frac{6s^2}{25}

into

p^4 s = 810

gives

\left(\frac{6}{25}\right)^4 s^9 = 810,

so

s^9 = 810 \cdot \frac{390625}{1296} = \frac{1953125}{8},

which means

s^3 = \frac{125}{2}.

Then

ps = \frac{6s^3}{25} = 15

and

p^3 = \frac{216 s^6}{25^3} = \frac{\frac{216 \cdot 15625}{4}}{15625} = 54.

Finally

\begin{aligned} &2x^3 + (xy)^3 + 2y^3 \\ &= 2(s^3 - 3ps) + p^3 \\ &= 2\left(\frac{125}{2} - 45\right) + 54 \\ &= 35 + 54 = 89. \end{aligned}

2015 AIME II Problema 14

Respuesta: 89

Nivel de dificultad: 3160

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 14 en otros años