Question

En un torneo de cinco equipos, cada equipo juega un partido contra todos los demás. Cada equipo tiene una probabilidad de

50\%

de ganar cualquier partido que juegue. No hay empates. Sea

\frac{m}{n}

la probabilidad de que el torneo no produzca ni un equipo invicto ni un equipo sin victorias, donde

m

y

n

son enteros positivos coprimos. Halla

m+n.

In a five-team tournament, each team plays one game with every other team. Each team has a

50\%

chance of winning any game it plays. There are no ties. Let

\frac{m}{n}

be the probability that the tournament will produce neither an undefeated team nor a winless team, where

m

and

n

are relatively prime positive integers. Find

m+n.

Respuesta

Respuesta: 49

Conceptos:conteo complementario inclusión-exclusión teoría de grafos

Nivel de dificultad: 2170

Pista pequeña:

Hay

2^{\binom52}

resultados igualmente probables del torneo

There are

2^{\binom52}

equally likely tournament outcomes

Pista grande:

Usa inclusión-exclusión con los sucesos de que exista un equipo invicto o uno sin victorias

Use inclusion-exclusion on the events that an undefeated or a winless team exists

Solución:

Hay

2^{10}=1024

resultados. Fijar un equipo invicto determina sus cuatro partidos y deja libres los otros seis, de modo que hay

5\cdot2^6=320

resultados con un equipo invicto. La misma cuenta vale para un equipo sin victorias. Si dos equipos distintos fijados son, respectivamente, invicto y sin victorias, quedan determinados siete partidos y son libres los tres partidos entre los demás equipos. Por lo tanto, la intersección tiene

5\cdot4\cdot2^3=160

resultados. Por inclusión-exclusión, la cantidad deseada es

1024-320-320+160=544.

La probabilidad es

\frac{544}{1024}=\frac{17}{32},

así que

m+n=49.

There are

2^{10}=1024

outcomes. A specified undefeated team forces its four games and leaves the other six arbitrary, so there are

5\cdot2^6=320

outcomes with an undefeated team. The same count holds for a winless team. If distinct specified teams are undefeated and winless, seven games are forced and the three games among the other teams are arbitrary. Thus the intersection count is

5\cdot4\cdot2^3=160.

By inclusion-exclusion, the desired count is

1024-320-320+160=544.

The probability is

\frac{544}{1024}=\frac{17}{32},

so

m+n=49.

1996 AIME Problema 6

Respuesta: 49

Nivel de dificultad: 2170

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 6 en otros años