Question

Para

k=-10,

-9,

-8,

\ldots,

9,

10,

se dibujan en el plano cartesiano las gráficas de las ecuaciones

\begin{aligned}y&=k,\\y&=\sqrt3x+2k,\\y&=-\sqrt3x+2k.\end{aligned}

Estas

63

rectas dividen parte del plano en triángulos equiláteros de lado

\frac{2}{\sqrt3}.

¿Cuántos de esos triángulos se forman?

The graphs of the equations

\begin{aligned}y&=k,\\y&=\sqrt3x+2k,\\y&=-\sqrt3x+2k,\end{aligned}

are drawn in the coordinate plane for

k=-10,

-9,

-8,

\ldots,

9,

10.

These

63

lines cut part of the plane into equilateral triangles of side

\frac{2}{\sqrt3}.

How many such triangles are formed?

Respuesta

Respuesta: 660

Conceptos:triángulo equilátero conteo de regiones conteo de pares

Nivel de dificultad: 2350

Pista pequeña:

Indexa una recta de cada familia mediante

i,j,k

en

[-10,10]

Index one line from each family by

i,j,k

in

[-10,10]

Pista grande:

Una celda triangular mínima aparece exactamente cuando

i=j+k+1

o

i=j+k-1

A smallest triangular cell occurs precisely when

i=j+k+1

or

i=j+k-1

Solución:

Una celda triangular unitaria queda determinada por índices

i,j,k\in[-10,10]

que satisfacen

i=j+k\pm1.

Para el signo más,

-11\leq j+k\leq9.

Hay

21-|s|

pares ordenados

(j,k)

cuya suma es

s,

así que esta orientación aporta

\sum_{s=-11}^{9}(21-|s|)=330.

Por simetría, la otra orientación también aporta

330,

para un total de

660.

A unit triangular cell is determined by indices

i,j,k\in[-10,10]

satisfying

i=j+k\pm1.

For the plus sign,

-11\leq j+k\leq9.

There are

21-|s|

ordered pairs

(j,k)

with sum

s,

so this orientation contributes

\sum_{s=-11}^{9}(21-|s|)=330.

By symmetry the other orientation also contributes

330,

for a total of

660.

1994 AIME Problema 6

Respuesta: 660

Nivel de dificultad: 2350

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 6 en otros años