2025 AMC 12B 第 15 题

Question

一个容器底部是

1 \times 1

的正方形，顶部开口是

3 \times 3

的正方形，四个侧面是全等的梯形，如图所示。从空容器开始，一根以恒定速率出水的水管用

35

分钟把容器装到梯形侧面的中线高度。

还需要多少分钟才能把容器剩余部分装满？

A container has a

1 \times 1

square bottom, a

3 \times 3

open square top, and four congruent trapezoidal sides, as shown. Starting when the container is empty, a hose that runs water at a constant rate takes

35

minutes to fill the container up to the midline of the trapezoids.

How many more minutes will it take to fill the remainder of the container?

70

85

90

95

105

答案：D

知识点：体积相似比与比例

难度评级：1800

小提示：

在高度比例为

t

处，水平截面是边长

1 + 2t

的正方形，所以面积为

(1 + 2t)^2

At height fraction

t

the cross-section is a square of side

1 + 2t,

so its area is

(1 + 2t)^2

大提示：

比较到中线（

t = \tfrac{1}{2}

）的体积与总体积；装水时间与体积成正比。

Compare the volume up to the midline (

t = \tfrac{1}{2}

) with the total volume; fill time is proportional to volume

解答：

在高度比例为

t

处，水平截面正方形的边长为

1 + 2t

，所以装到高度

t

的体积为

\int_0^t (1 + 2u)^2\,du

。装到中线

\left(t = \tfrac{1}{2}\right)

时，这个体积为

\tfrac{7}{6}

，而总体积为

\tfrac{13}{3}

。剩余体积为

\tfrac{13}{3} - \tfrac{7}{6} = \tfrac{19}{6}

，是前一部分的

\tfrac{19}{7}

倍。因此装满剩余部分还需

35 \cdot \tfrac{19}{7} = 95

分钟。

所以正确答案是 D。

At height fraction

t

the square cross-section has side

1 + 2t,

so the volume filled up to height

t

is

\int_0^t (1 + 2u)^2\,du.

Up to the midline

\left(t = \tfrac{1}{2}\right)

this is

\tfrac{7}{6},

and the full volume is

\tfrac{13}{3}.

The remaining volume is

\tfrac{13}{3} - \tfrac{7}{6} = \tfrac{19}{6},

which is

\tfrac{19}{7}

times the first part. So the remainder takes

35 \cdot \tfrac{19}{7} = 95

more minutes.

Thus, the correct answer is D.

2025 AMC 12B 第 15 题

答案：D

难度评级：1800

小提示：

大提示：

解答：

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