2024 AMC 12A 第 11 题

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11.

恰有

K

个满足

5\le b\le2024

的正整数

b

，使得以

b

为底的整数

2024_b

能被

16

整除（其中

16

用十进制表示）。

K

的各位数字之和是多少？

There are exactly

K

positive integers

b

with

5\le b\le2024

such that the base-

b

integer

2024_b

is divisible by

16

(where

16

is in base ten). What is the sum of the digits of

K?

16

17

18

20

21

答案：D

知识点：进制模运算区间内整数计数

难度评级：1630

小提示：

2024_b=2b^3+2b+4

，所以需要

2(b^3+b+2)

是

16

的倍数

2024_b=2b^3+2b+4,

so you need

2(b^3+b+2)

to be divisible by

16

大提示：

计算

b^3+b+2\pmod 8

，并统计

[5,2024]

中每个有效剩余类的

b

。

Reduce

b^3+b+2\pmod 8

and count

b

in each valid residue class of

[5,2024]

解答：

这里

2024_b=2b^3+2b+4

=2(b^3+b+2)

，所以

2024_b

是

16

的倍数当且仅当

b^3+b+2

是

8

的倍数。检查

\bmod 8

的剩余类可知，

b^3+b+2\equiv0

恰好在

b\equiv3,6,7\pmod8

时成立。

统计

b

在

[5,2024]

：剩余

3

给出

11,\ldots,2019

，共有

252

个；剩余

6

给出

6,\ldots,2022

，共有

253

个；剩余

7

给出

7,\ldots,2023

，共有

253

个。所以

K=252+253+253=758

，各位数字之和为

7+5+8=20

。

因此正确答案是 D。

Here

2024_b=2b^3+2b+4

=2(b^3+b+2),

so

2024_b

is divisible by

16

exactly when

b^3+b+2

is divisible by

8.

Checking residues

\bmod 8,

b^3+b+2\equiv0

precisely for

b\equiv3,6,7\pmod8.

Counting

b

in

[5,2024]:

residue

3

gives

11,\ldots,2019

(

252

values), residue

6

gives

6,\ldots,2022

(

253

values), and residue

7

gives

7,\ldots,2023

(

253

values). So

K=252+253+253=758,

and its digit sum is

7+5+8=20.

Thus, the correct answer is D.

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