Question

一个等腰梯形的两腰长为 $1$ ，且一条底边是另一条底边的两倍。这个等腰梯形的最大面积是多少？

What is the maximum area of an isosceles trapezoid that has legs of length $1$ and one base twice as long as the other?

$\dfrac{5}{4}$

$\dfrac{8}{7}$

$\dfrac{5\sqrt{2}}{4}$

$\dfrac{3}{2}$

$\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$

答案：D

知识点：梯形最优化

难度评级：1570

解答：

设两条底边为 $a$ 和 $2a$ 。每条腰的水平偏移为 $\tfrac{a}{2}$ ，所以高为 $\sqrt{1-\tfrac{a^2}{4}}$ ，面积为 $A=\tfrac{3a}{2}\sqrt{1-\tfrac{a^2}{4}}$ 。于是 $A^2=\tfrac94\left(a^2-\tfrac{a^4}{4}\right)$ ，当 $a^2=2$ 时最大。此时高为 $\tfrac{1}{\sqrt2}$ ，且 $A=\tfrac{3\sqrt2}{2}\cdot\tfrac{1}{\sqrt2}=\tfrac{3}{2}$ 。

因此，正确答案是 D。

Let the bases be $a$ and $2a.$ Each leg has horizontal offset $\tfrac{a}{2},$ so the height is $\sqrt{1-\tfrac{a^2}{4}}$ and the area is $A=\tfrac{3a}{2}\sqrt{1-\tfrac{a^2}{4}}.$ Then $A^2=\tfrac94\left(a^2-\tfrac{a^4}{4}\right),$ maximized when $a^2=2.$ There the height is $\tfrac{1}{\sqrt2}$ and $A=\tfrac{3\sqrt2}{2}\cdot\tfrac{1}{\sqrt2}=\tfrac{3}{2}.$

Thus, the correct answer is D.

2023 AMC 12B 第 11 题

答案：D

难度评级：1570

解答：

其他年份的第 11 题