2023 AMC 12A 第 12 题

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12.

求下式的值：

\begin{gathered} 2^3-1^3+4^3-3^3+6^3-5^3\\ {}+\cdots+18^3-17^3 \end{gathered}\text{？}

What is the value of

\begin{gathered} 2^3-1^3+4^3-3^3+6^3-5^3\\ {}+\cdots+18^3-17^3? \end{gathered}

2023

2679

2941

3159

3235

答案：D

知识点：立方和与立方差前n项平方和

难度评级：1630

小提示：

把项配成

(2k)^3-(2k-1)^3

，其中

k=1

到

9

。

Group the terms into pairs

(2k)^3-(2k-1)^3

for

k=1

to

9

大提示：

每一对等于

12k^2-6k+1

；用

\sum k^2

和

\sum k

求和

Each pair equals

12k^2-6k+1;

sum using

\sum k^2

and

\sum k

解答：

配成

(2k)^3-(2k-1)^3

，其中

k=1,\ldots,9

。展开得

\begin{gathered} (2k)^3-(2k-1)^3\\ {}=12k^2-6k+1 \end{gathered}\text{。}

对

k=1

到

9

，求和，并用

\sum k^2=285

、

\sum k=45

得到

\begin{gathered} 12\cdot 285-6\cdot 45+9\\ {}=3420-270+9\\ {}=3159 \end{gathered}\text{。}

所以正确答案是 D。

Group into pairs

(2k)^3-(2k-1)^3

for

k=1,\ldots,9.

Expanding,

\begin{gathered} (2k)^3-(2k-1)^3\\ {}=12k^2-6k+1. \end{gathered}

Summing for

k=1

to

9,

with

\sum k^2=285

and

\sum k=45,

gives

\begin{gathered} 12\cdot 285-6\cdot 45+9\\ {}=3420-270+9\\ {}=3159. \end{gathered}

Thus, the correct answer is D.

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