2022 AMC 12B 第 11 题

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11.

令

\begin{aligned} f(n) &= \left(\dfrac{-1 + i\sqrt3}{2}\right)^n \\ &\quad {}+ \left(\dfrac{-1 - i\sqrt3}{2}\right)^n\text{，} \end{aligned}

其中

i = \sqrt{-1}

。

f(2022)

是多少？

Let

\begin{aligned} f(n) &= \left(\dfrac{-1 + i\sqrt3}{2}\right)^n \\ &\quad {}+ \left(\dfrac{-1 - i\sqrt3}{2}\right)^n, \end{aligned}

where

i = \sqrt{-1}.

What is

f(2022)?

-2

-1

0

\sqrt3

2

答案：E

知识点：单位根复数

难度评级：1570

小提示：

这两个底数是本原三次单位根

\omega

和

\omega^2

。

The two bases are the primitive cube roots of unity,

\omega

and

\omega^2

大提示：

由

f(n) = \omega^n + \omega^{-n}

，把指数

2022

对

3

取模。

Then

f(n) = \omega^n + \omega^{-n};

reduce the exponent

2022

modulo

3

解答：

两个底数是本原三次单位根

\omega = e^{\frac{2\pi i}{3}}

及其共轭

\omega^2 = e^{-\frac{2\pi i}{3}}

。因此

f(n) = \omega^n + \omega^{-n} = 2\cos\dfrac{2\pi n}{3}

。

由于

2022

是

3

的倍数，

\omega^{2022} = 1

，所以

f(2022) = 1 + 1 = 2

。

所以正确答案是 E。

The two bases are the primitive cube roots of unity,

\omega = e^{\frac{2\pi i}{3}}

and its conjugate

\omega^2 = e^{-\frac{2\pi i}{3}}.

So

f(n) = \omega^n + \omega^{-n} = 2\cos\dfrac{2\pi n}{3}.

Since

2022

is a multiple of

3,

\omega^{2022} = 1,

so

f(2022) = 1 + 1 = 2.

Thus, the correct answer is E.

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