2021 AMC 12B Fall 第 12 题

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12.

对正整数

n

，令

f(n)

为

n

的所有正因数之和除以

n

得到的商。例如，

\begin{aligned} f(14) &= (1 + 2 + 7 + 14) \div 14 \\ &= \dfrac{12}{7}\text{。} \end{aligned}

求

f(768) - f(384)

？

For

n

a positive integer, let

f(n)

be the quotient obtained when the sum of all positive divisors of

n

is divided by

n.

For example,

\begin{aligned} f(14) &= (1 + 2 + 7 + 14) \div 14 \\ &= \dfrac{12}{7}. \end{aligned}

What is

f(768) - f(384)?

\dfrac{1}{768}

\dfrac{1}{192}

1

\dfrac{4}{3}

\dfrac{8}{3}

答案：B

知识点：因数之和质因数分解

难度评级：1760

小提示：

分解

768 = 2^8 \cdot 3

和

384 = 2^7 \cdot 3

，再使用质数幂的因数和函数

\sigma

。

Factor

768 = 2^8 \cdot 3

and

384 = 2^7 \cdot 3,

then use

\sigma

of a prime power

大提示：

把两个值都化为分母为

192

的分数。

Put both over a common denominator of

192

解答：

因为

768 = 2^8 \cdot 3

，它的因数和是

(2^9 - 1)(1 + 3)

= 511 \cdot 4 = 2044

，所以

f(768) = \dfrac{2044}{768} = \dfrac{511}{192}

。

因为

384 = 2^7 \cdot 3

，它的因数和是

(2^8 - 1)(1 + 3)

= 255 \cdot 4 = 1020

，所以

f(384) = \dfrac{1020}{384} = \dfrac{510}{192}

。

差为

\dfrac{511 - 510}{192} = \dfrac{1}{192}

。

所以正确答案是 B。

Since

768 = 2^8 \cdot 3,

its divisor sum is

(2^9 - 1)(1 + 3)

= 511 \cdot 4 = 2044,

so

f(768) = \dfrac{2044}{768} = \dfrac{511}{192}.

Since

384 = 2^7 \cdot 3,

its divisor sum is

(2^8 - 1)(1 + 3)

= 255 \cdot 4 = 1020,

so

f(384) = \dfrac{1020}{384} = \dfrac{510}{192}.

The difference is

\dfrac{511 - 510}{192} = \dfrac{1}{192}.

Thus, the correct answer is B.

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