2021 AMC 12B Spring 第 3 题

先试着解答 2021 AMC 12B Spring 第 3 题，然后核对你的答案与精心整理的解答，解答来自 LIVE by Po-Shen Loh。你也可以参加完整限时模拟考试、查看全部 2021 AMC 12B Spring 解答，或核对答案。

所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

3.

假设

2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{2}{3+x}}}=\dfrac{144}{53}\text{。}

x

的值是多少？

Suppose

2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{2}{3+x}}}=\dfrac{144}{53}.

What is the value of

x?

\dfrac{3}{4}

\dfrac{7}{8}

\dfrac{14}{15}

\dfrac{37}{38}

\dfrac{52}{53}

答案：A

知识点：连分数逆推法

难度评级：1170

小提示：

从外向内一层一层剥开，先从

\dfrac{144}{53}

中减去

2

。

Peel off one layer at a time, starting by subtracting

2

from

\dfrac{144}{53}

大提示：

在

\dfrac{144}{53}-2=\dfrac{38}{53}

后，取倒数并继续向内化简

After

\dfrac{144}{53}-2=\dfrac{38}{53},

take reciprocals and continue inward

解答：

从外向内计算，

\dfrac{144}{53}-2=\dfrac{38}{53}

，所以内层分式等于

\dfrac{38}{53}

。

取倒数得

1+\cfrac{1}{2+\frac{2}{3+x}}=\dfrac{53}{38}

，所以

\cfrac{1}{2+\frac{2}{3+x}}=\dfrac{15}{38}

。

于是

2+\dfrac{2}{3+x}=\dfrac{38}{15}

，所以

\dfrac{2}{3+x}=\dfrac{8}{15}

，得到

3+x=\dfrac{15}{4}

。

因此

x=\dfrac{15}{4}-3=\dfrac{3}{4}

。

所以正确答案是 A。

Working from the outside in,

\dfrac{144}{53}-2=\dfrac{38}{53},

so the inner fraction equals

\dfrac{38}{53}.

Its reciprocal gives

1+\cfrac{1}{2+\frac{2}{3+x}}=\dfrac{53}{38},

so

\cfrac{1}{2+\frac{2}{3+x}}=\dfrac{15}{38}.

Then

2+\dfrac{2}{3+x}=\dfrac{38}{15},

so

\dfrac{2}{3+x}=\dfrac{8}{15},

giving

3+x=\dfrac{15}{4}.

Therefore

x=\dfrac{15}{4}-3=\dfrac{3}{4}.

Thus, the correct answer is A.

其他年份的第 3 题