2017 AMC 12B 第 7 题

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7.

函数

\sin(x)

和

\cos(x)

都是周期函数，最小正周期为

2\pi

。函数

\cos(\sin(x))

的最小正周期是多少？

The functions

\sin(x)

and

\cos(x)

are periodic with least period

2\pi.

What is the least period of the function

\cos(\sin(x))?

\dfrac{\pi}{2}

\pi

2\pi

4\pi

它不是周期函数。

It’s not periodic.

答案：B

知识点：三角恒等式函数

难度评级：1500

小提示：

使用

\sin(x + \pi) = -\sin(x)

，以及

\cos

是偶函数

Use that

\sin(x + \pi) = -\sin(x)

and

\cos

is even

大提示：

要排除更小的周期，注意

\cos(\sin(x)) = 1

只在

\sin(x) = 0

时成立，也就是在

\pi

的整数倍处

To rule out a smaller period, note

\cos(\sin(x)) = 1

only when

\sin(x) = 0,

i.e. at multiples of

\pi

解答：

因为

\cos(\sin(x + \pi))

= \cos(-\sin(x))

= \cos(\sin(x))

，所以该函数有周期

\pi

。它不可能有更小的周期：

\cos(\sin(x)) = 1

当且仅当

\sin(x) = 0

，这只发生在

\pi

的整数倍处，所以最大值之间相隔

\pi

。最小正周期为

\pi

。

所以正确答案是 B。

Since

\cos(\sin(x + \pi))

= \cos(-\sin(x))

= \cos(\sin(x)),

the function has period

\pi.

It cannot be smaller:

\cos(\sin(x)) = 1

exactly when

\sin(x) = 0,

which happens only at integer multiples of

\pi,

so the maxima are spaced

\pi

apart. The least period is

\pi.

Thus, the correct answer is B.

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