2017 AMC 12B 第 13 题

Question

如下图所示，要把

6

个圆盘中的

3

个涂成蓝色，

2

个涂成红色，

1

个涂成绿色。如果两种涂色可以通过整个图形的旋转或翻折互相得到，则认为它们相同。共有多少种不同的涂色？

In the figure below,

3

of the

6

disks are to be painted blue,

2

are to be painted red, and

1

is to be painted green. Two paintings that can be obtained from one another by a rotation or a reflection of the entire figure are considered the same. How many different paintings are possible?

6

8

9

12

15

答案：D

知识点：分类讨论对称性

难度评级：1660

小提示：

先数带标号的涂色种数，再对三角形的

6

个对称使用 Burnside 引理

Count the labeled colorings first, then apply Burnside’s Lemma to the

6

symmetries of the triangle

大提示：

非恒等旋转不固定任何涂色；在反射下，个数为奇数的绿色和蓝色圆盘必须占据两个不动的圆盘

A nonidentity rotation fixes none; under a reflection, the odd green and blue counts must use the two fixed disks

解答：

在考虑对称性之前，共有

\dfrac{6!}{3!2!}=60

种涂色。两个非恒等旋转把这些圆盘分成两个

3

-循环，所以它们都不能固定颜色数量为

3,2,1

的涂色。

3

个反射中的每一个都固定

2

个圆盘，并把其余

4

个圆盘两两交换成

2

对。要使一种涂色保持不变，唯一的绿色圆盘和

3

个蓝色圆盘之一必须占据这两个不动位置，共有

2

种顺序；两组交换对中任意一组都可以是红色对，因此每个反射固定

2\cdot2=4

种涂色。于是由 Burnside 引理得到

\dfrac{60+3(4)}{6}=12

种不同的涂色。

所以正确答案是 D。

Before accounting for symmetry, there are

\dfrac{6!}{3!2!}=60

paintings. The two nonidentity rotations partition the disks into two

3

-cycles, so neither can fix a painting having color counts

3,2,1.

Each of the

3

reflections fixes

2

disks and swaps the other

4

in

2

pairs. For a painting to be fixed, the lone green disk and one of the

3

blue disks must occupy the two fixed positions, in

2

orders. Of the two swapped pairs, either one can be the red pair, giving

2\cdot2=4

fixed paintings per reflection. Burnside’s Lemma therefore gives

\dfrac{60+3(4)}{6}=12

distinct paintings.

Thus, the correct answer is D.

2017 AMC 12B 第 13 题

答案：D

难度评级：1660

小提示：

大提示：

解答：

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