Question

设 $f(x)=\sin x+2\cos x+3\tan x$ ，其中变量 $x$ 使用弧度制。使 $f(x)=0$ 的最小正 $x$ 落在哪个区间？

Let $f(x)=\sin x+2\cos x+3\tan x,$ using radian measure for the variable $x.$ In what interval does the smallest positive value of $x$ for which $f(x)=0$ lie?

$(0,1)$

$(1,2)$

$(2,3)$

$(3,4)$

$(4,5)$

答案：D

知识点：三角学

难度评级：1800

解答：

对 $0\lt x\lt\dfrac{\pi}{2}$ ，三项都为正，所以 $f(x)\gt0$ 。对 $\dfrac{\pi}{2}\lt x\lt\pi$ ， $s=\sin x\gt0$ 为负且占主导，使 $t=-\cos x\gt0$ 。因此在 $x=\pi$ 之前没有根。 $0\lt t\le1$ ， $\begin{aligned} f(x)&=s-2t-\dfrac{3s}{t} \\ &=-2t-s\left(\dfrac{3}{t}-1\right)\lt0. \end{aligned}$

当 $x=\pi$ ， $f(\pi)=0+2(-1)+0=-2\lt0$ 。当 $x=\dfrac{5\pi}{4}$ ， $\tan x=1$ ，所以 $f=-\dfrac{\sqrt2}{2}+3\gt0$ 。由介值定理，最小正根位于 $\left(\pi,\dfrac{5\pi}{4}\right)$ 。

因为 $\pi\gt3$ 且 $\dfrac{5\pi}{4}\lt4$ ，这个区间包含在 $(3,4)$ 中。

所以正确答案是 D。

For $0\lt x\lt\dfrac{\pi}{2}$ all three terms are positive, so $f(x)\gt0.$ For $\dfrac{\pi}{2}\lt x\lt\pi,$ set $s=\sin x\gt0$ and $t=-\cos x\gt0.$ Since $0\lt t\le1,$ $\begin{aligned} f(x)&=s-2t-\dfrac{3s}{t} \\ &=-2t-s\left(\dfrac{3}{t}-1\right)\lt0. \end{aligned}$ Thus no root occurs before $x=\pi.$

At $x=\pi,$ $f(\pi)=0+2(-1)+0=-2\lt0.$ At $x=\dfrac{5\pi}{4},$ $\tan x=1$ so $f=-\dfrac{\sqrt2}{2}+3\gt0.$ By the intermediate value theorem the smallest positive root lies in $\left(\pi,\dfrac{5\pi}{4}\right).$

Since $\pi\gt3$ and $\dfrac{5\pi}{4}\lt4,$ this interval sits inside $(3,4).$

Thus, the correct answer is D.

2017 AMC 12A 第 15 题

答案：D

难度评级：1800

解答：

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