2017 AMC 12A 第 15 题

Question

设

f(x)=\sin x+2\cos x+3\tan x

，其中变量

x

使用弧度制。使

f(x)=0

的最小正

x

落在哪个区间？

Let

f(x)=\sin x+2\cos x+3\tan x,

using radian measure for the variable

x.

In what interval does the smallest positive value of

x

for which

f(x)=0

lie?

(0,1)

(1,2)

(2,3)

(3,4)

(4,5)

答案：D

知识点：三角学

难度评级：1800

小提示：

对

0\lt x\lt\dfrac{\pi}{2}

，三项都为正，所以那里没有根

For

0\lt x\lt\dfrac{\pi}{2}

all three terms are positive, so there is no root there

大提示：

刚过

\dfrac{\pi}{2}

后，

3\tan x

使

f

为负；定位

\pi

之后的第一次变号

Just past

\dfrac{\pi}{2}

the term

3\tan x

makes

f

negative; locate the first sign change after

\pi

解答：

对

0\lt x\lt\dfrac{\pi}{2}

，三项都为正，所以

f(x)\gt0

。对

\dfrac{\pi}{2}\lt x\lt\pi

，令

s=\sin x\gt0

，

t=-\cos x\gt0

。因为

0\lt t\le1

，

\begin{aligned} f(x)&=s-2t-\dfrac{3s}{t} \\ &=-2t-s\left(\dfrac{3}{t}-1\right)\lt0 \end{aligned}\text{。}

因此在

x=\pi

之前没有根。

当

x=\pi

，

f(\pi)=0+2(-1)+0=-2\lt0

。当

x=\dfrac{5\pi}{4}

，

\tan x=1

，所以

f=-\dfrac{\sqrt2}{2}+3\gt0

。由介值定理，最小正根位于

\left(\pi,\dfrac{5\pi}{4}\right)

。

因为

\pi\gt3

且

\dfrac{5\pi}{4}\lt4

，这个区间包含在

(3,4)

中。

所以正确答案是 D。

For

0\lt x\lt\dfrac{\pi}{2}

all three terms are positive, so

f(x)\gt0.

For

\dfrac{\pi}{2}\lt x\lt\pi,

set

s=\sin x\gt0

and

t=-\cos x\gt0.

Since

0\lt t\le1,

\begin{aligned} f(x)&=s-2t-\dfrac{3s}{t} \\ &=-2t-s\left(\dfrac{3}{t}-1\right)\lt0. \end{aligned}

Thus no root occurs before

x=\pi.

At

x=\pi,

f(\pi)=0+2(-1)+0=-2\lt0.

At

x=\dfrac{5\pi}{4},

\tan x=1

so

f=-\dfrac{\sqrt2}{2}+3\gt0.

By the intermediate value theorem the smallest positive root lies in

\left(\pi,\dfrac{5\pi}{4}\right).

Since

\pi\gt3

and

\dfrac{5\pi}{4}\lt4,

this interval sits inside

(3,4).

Thus, the correct answer is D.

2017 AMC 12A 第 15 题

答案：D

难度评级：1800

小提示：

大提示：

解答：

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