2016 AMC 12A 第 3 题

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3.

对所有实数

x

和满足

y\neq 0

的实数

y

，余数函数可定义为

\text{rem}(x,y)=x-y\left\lfloor \dfrac{x}{y}\right\rfloor\text{，}

其中

\left\lfloor \dfrac{x}{y}\right\rfloor

表示小于或等于

\dfrac{x}{y}

的最大整数。

\text{rem}\left(\dfrac{3}{8},-\dfrac{2}{5}\right)

的值是多少？

The remainder function can be defined for all real numbers

x

and

y

with

y\neq 0

by

\text{rem}(x,y)=x-y\left\lfloor \dfrac{x}{y}\right\rfloor,

where

\left\lfloor \dfrac{x}{y}\right\rfloor

denotes the greatest integer less than or equal to

\dfrac{x}{y}.

What is the value of

\text{rem}\left(\dfrac{3}{8},-\dfrac{2}{5}\right)?

-\dfrac{3}{8}

-\dfrac{1}{40}

0

\dfrac{3}{8}

\dfrac{31}{40}

答案：B

知识点：自定义运算取整函数

难度评级：1200

小提示：

先计算

\dfrac{x}{y}=\dfrac{\frac{3}{8}}{-\frac{2}{5}}

。

Compute

\dfrac{x}{y}=\dfrac{\frac{3}{8}}{-\frac{2}{5}}

first

大提示：

\left\lfloor -\dfrac{15}{16}\right\rfloor=-1

。

\left\lfloor -\dfrac{15}{16}\right\rfloor=-1

解答：

首先，

\begin{gathered} \dfrac{x}{y}=\dfrac{\frac{3}{8}}{-\frac{2}{5}}\\ =\dfrac{3}{8}\cdot\left(-\dfrac{5}{2}\right)\\ =-\dfrac{15}{16} \end{gathered}\text{，}

所以

\left\lfloor -\dfrac{15}{16}\right\rfloor=-1

。

因此

\begin{gathered} \text{rem}\left(\dfrac{3}{8},-\dfrac{2}{5}\right)\\ =\dfrac{3}{8}-\left(-\dfrac{2}{5}\right)(-1)\\ =\dfrac{3}{8}-\dfrac{2}{5}\\ =\dfrac{15-16}{40}\\ =-\dfrac{1}{40} \end{gathered}\text{。}

所以正确答案是 B。

First,

\begin{gathered} \dfrac{x}{y}=\dfrac{\frac{3}{8}}{-\frac{2}{5}}\\ =\dfrac{3}{8}\cdot\left(-\dfrac{5}{2}\right)\\ =-\dfrac{15}{16}, \end{gathered}

and

\left\lfloor -\dfrac{15}{16}\right\rfloor=-1.

Therefore

\begin{gathered} \text{rem}\left(\dfrac{3}{8},-\dfrac{2}{5}\right)\\ =\dfrac{3}{8}-\left(-\dfrac{2}{5}\right)(-1)\\ =\dfrac{3}{8}-\dfrac{2}{5}\\ =\dfrac{15-16}{40}\\ =-\dfrac{1}{40}. \end{gathered}

Thus, the correct answer is B.

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