2015 AMC 12B 第 12 题

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12.

设

a

、

b

和

c

是三个互不相同的一位数。方程

(x - a)(x - b)

+ (x - b)(x - c) = 0

的根的和的最大值是多少？

Let

a,

b,

and

c

be three distinct one-digit numbers. What is the maximum value of the sum of the roots of the equation

(x - a)(x - b)

+ (x - b)(x - c) = 0?

15

15.5

16

16.5

17

答案：D

知识点：因式分解最优化

难度评级：1540

小提示：

提取公因式

(x - b)

Factor out the common

(x - b)

大提示：

两个根是

b

和

\dfrac{a + c}{2}

；在互异数字中最大化

b + \dfrac{a + c}{2}

。

The roots are

b

and

\dfrac{a + c}{2};

maximize

b + \dfrac{a + c}{2}

over distinct digits

解答：

因式分解得

(x - b)\bigl(2x - (a + c)\bigr) = 0

，所以两个根是

b

和

\dfrac{a + c}{2}

。它们的和是

b + \dfrac{a + c}{2}

。

使用互不相同的数字，取

b = 9

且

a + c = 8 + 7 = 15

，得

9 + 7.5 = 16.5

。

因此，正确选项是 D。

Factoring gives

(x - b)\bigl(2x - (a + c)\bigr) = 0,

so the roots are

b

and

\dfrac{a + c}{2}.

Their sum is

b + \dfrac{a + c}{2}.

Using distinct digits, take

b = 9

and

a + c = 8 + 7 = 15,

giving

9 + 7.5 = 16.5.

Thus, the correct answer is D.

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