2014 AMC 12A 第 15 题

Question

五位回文数是形如

abcba

的正整数，其中

a

不为零。设

S

为所有五位回文数之和。

S

的各位数字之和是多少？

A five-digit palindrome is a positive integer with respective digits

abcba,

where

a

is not zero. Let

S

be the sum of all five-digit palindromes. What is the sum of the digits of

S?

9

18

27

36

45

答案：B

知识点：回文数位值求和

难度评级：1660

小提示：

回文数

\overline{abcba}

等于

10001a+1010b+100c

。

A palindrome

\overline{abcba}

equals

10001a+1010b+100c

大提示：

每个

a

出现在

10\cdot10

个回文数中，每个

b

出现在

9\cdot10

个回文数中，每个

c

也出现在

9\cdot10

个回文数中；再结合数字和

45

。

Each

a

appears in

10\cdot10

palindromes, each

b

in

9\cdot10

, each

c

in

9\cdot10

; combine with the digit sum

45

解答：

写

\overline{abcba}=10001a+1010b+100c

。对所有回文数求和时，每个

a\in\{1,\dots,9\}

与

10\cdot10=100

种

b,c

搭配；每个

b

或

c

的值与另外两位有

9\cdot10=90

种搭配。

利用

\sum a=\sum b=\sum c=45

，

\begin{gathered} \scriptsize S=45\big(10001\cdot100+1010\cdot90+100\cdot90\big)\\ =45\cdot1{,}100{,}000\\ =49{,}500{,}000 \end{gathered}\text{。}

S

的各位数字之和为

4+9+5=18

。

所以正确答案是 B。

Write

\overline{abcba}=10001a+1010b+100c.

Summing over all palindromes, each value of

a\in\{1,\dots,9\}

occurs with

10\cdot10=100

choices of

b,c,

and each value of

b

or

c

occurs with

9\cdot10=90

choices of the other two digits.

Using

\sum a=\sum b=\sum c=45,

\begin{gathered} \scriptsize S=45\big(10001\cdot100+1010\cdot90+100\cdot90\big)\\ =45\cdot1{,}100{,}000\\ =49{,}500{,}000. \end{gathered}

The sum of the digits of

S

is

4+9+5=18.

Thus, the correct answer is B.

2014 AMC 12A 第 15 题

答案：B

难度评级：1660

小提示：

大提示：

解答：

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