2014 AMC 12A 第 12 题

Question

两个圆交于点

A

和

B

。小弧

AB

在其中一个圆上为

30^\circ

，在另一个圆上为

60^\circ

。大圆面积与小圆面积之比是多少？

Two circles intersect at points

A

and

B.

The minor arcs

AB

measure

30^\circ

on one circle and

60^\circ

on the other circle. What is the ratio of the area of the larger circle to the area of the smaller circle?

2

1+\sqrt3

3

2+\sqrt3

4

答案：D

知识点：弦三角学面积比

难度评级：1630

小提示：

公共弦

AB

在一个圆中等于

2R\sin15^\circ

，在另一个圆中等于

2r\sin30^\circ

。

The common chord

AB

equals

2R\sin15^\circ

in one circle and

2r\sin30^\circ

in the other

大提示：

面积比为

\left(\dfrac{R}{r}\right)^2=\dfrac{1}{4\sin^2 15^\circ}

，且

4\sin^2 15^\circ=2-\sqrt3

。

The area ratio is

\left(\dfrac{R}{r}\right)^2=\dfrac{1}{4\sin^2 15^\circ}

, and

4\sin^2 15^\circ=2-\sqrt3

解答：

设对应

30^\circ

弧的圆半径为

R

，对应

60^\circ

弧的圆半径为

r

。公共弦的长度满足

2R\sin15^\circ=2r\sin30^\circ

，所以

\dfrac{R}{r}=\dfrac{\sin30^\circ}{\sin15^\circ}

。

较小的圆心角对应较大的半径，因此

R\gt r

。所求面积比为

\begin{gathered} \left(\dfrac{R}{r}\right)^2\\ =\dfrac{1}{4\sin^2 15^\circ}\\ =\dfrac{1}{2(1-\cos30^\circ)}\\ =\dfrac{1}{2-\sqrt3}=2+\sqrt3 \end{gathered}\text{。}

所以正确答案是 D。

Let the circles have radii

R

(with the

30^\circ

arc) and

r

(with the

60^\circ

arc). The common chord has length

2R\sin15^\circ=2r\sin30^\circ,

so

\dfrac{R}{r}=\dfrac{\sin30^\circ}{\sin15^\circ}.

The smaller central angle gives the larger radius, so

R\gt r.