2013 AMC 12A 第 12 题

Question

某个三角形的三个角成等差数列，边长为

4

，

5

，和

x

。所有可能的

x

值之和等于

a + \sqrt{b} + \sqrt{c}

，其中

a

，

b

，和

c

为正整数。

a + b + c

是多少？

The angles in a particular triangle are in arithmetic progression, and the side lengths are

4,

5,

and

x.

The sum of the possible values of

x

equals

a + \sqrt{b} + \sqrt{c},

where

a,

b,

and

c

are positive integers. What is

a + b + c?

36

38

40

42

44

答案：A

知识点：等差数列余弦定理分类讨论

难度评级：1740

小提示：

三个角成等差数列且和为

180^\circ

，所以中间的角必须是

60^\circ

。

Angles in arithmetic progression summing to

180^\circ

force the middle angle to be

60^\circ

大提示：

分别讨论哪条边对着

60^\circ

角，并使用余弦定理

Apply the Law of Cosines in each case for which side is opposite the

60^\circ

angle

解答：

若三个角为

\alpha - \delta, \alpha, \alpha + \delta

，它们的和

3\alpha = 180^\circ

给出

\alpha = 60^\circ

，所以其中一个角是

60^\circ

。

若

x

对着

60^\circ

角，由余弦定理得

\begin{gathered} x^2 = 4^2 + 5^2 - 2\cdot 4\cdot 5\cos 60^\circ \\ = 21\text{，} \end{gathered}

所以

x = \sqrt{21}

。

若

5

对着

60^\circ

角，则

25 = x^2 - 4x + 16

，正解为

x = 2 + \sqrt{13}

。若

4

对着该角，则

16 = x^2 - 5x + 25

，没有实数解。

所有可能值的和为

2 + \sqrt{13} + \sqrt{21}

，所以

a + b + c = 2 + 13 + 21 = 36

。

因此，正确答案是 A。

If the angles are

\alpha - \delta, \alpha, \alpha + \delta,

their sum

3\alpha = 180^\circ

gives

\alpha = 60^\circ,

so one angle is

60^\circ.

If

x

is opposite the

60^\circ

angle, the Law of Cosines gives

\begin{gathered} x^2 = 4^2 + 5^2 - 2\cdot 4\cdot 5\cos 60^\circ \\ = 21, \end{gathered}

so

x = \sqrt{21}.

If

5

is opposite the

60^\circ

angle, then

25 = x^2 - 4x + 16,

whose positive solution is

x = 2 + \sqrt{13}.

If

4

is opposite, then

16 = x^2 - 5x + 25

has no real solution.

The sum of the possible values is

2 + \sqrt{13} + \sqrt{21},

so

a + b + c = 2 + 13 + 21 = 36.

Thus, the correct answer is A.

2013 AMC 12A 第 12 题

答案：A

难度评级：1740

小提示：

大提示：

解答：

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