2013 AMC 12A 第 11 题

Question

三角形

ABC

是等边三角形，且

AB = 1

。点

E

和

G

在

\overline{AC}

上，点

D

和

F

在

\overline{AB}

上，使得

\overline{DE}

和

\overline{FG}

都平行于

\overline{BC}

。此外，三角形

ADE

以及梯形

DFGE

和

FBCG

的周长都相同。求

DE + FG

。

Triangle

ABC

is equilateral with

AB = 1.

Points

E

and

G

are on

\overline{AC}

and points

D

and

F

are on

\overline{AB}

such that both

\overline{DE}

and

\overline{FG}

are parallel to

\overline{BC}.

Furthermore, triangle

ADE

and trapezoids

DFGE

and

FBCG

all have the same perimeter. What is

DE + FG?

1

\dfrac{3}{2}

\dfrac{21}{13}

\dfrac{13}{8}

\dfrac{5}{3}

答案：C

知识点：等边三角形平行线方程组

难度评级：1610

小提示：

设

x = DE

、

y = FG

，用

x

和

y

表示三个周长

Let

x = DE

and

y = FG,

and write each of the three perimeters in terms of

x

and

y

大提示：

三个相等的周长给出

3x = 3y - x = 3 - y

。

The three equal perimeters give

3x = 3y - x = 3 - y

解答：

设

x = DE

、

y = FG

。平行线切出的较小区域是等边三角形或等腰梯形，所以周长为

\begin{gathered} \triangle ADE: 3x, \\ \quad DFGE: 3y - x, \\ \quad FBCG: 3 - y \end{gathered}\text{。}

令它们相等，

3x = 3y - x

得

4x = 3y

，且

3x = 3 - y

。解得

x = \tfrac{9}{13}

、

y = \tfrac{12}{13}

，所以

DE + FG = \tfrac{21}{13}

。

因此，正确答案是 C。

Let

x = DE

and

y = FG.

The parallel cuts make the small regions equilateral or isosceles trapezoids, so the perimeters are

\begin{gathered} \triangle ADE: 3x, \\ \quad DFGE: 3y - x, \\ \quad FBCG: 3 - y. \end{gathered}

Setting them equal,

3x = 3y - x

gives

4x = 3y,

and

3x = 3 - y.

Solving yields

x = \tfrac{9}{13}

and

y = \tfrac{12}{13},

so

DE + FG = \tfrac{21}{13}.

Thus, the correct answer is C.

2013 AMC 12A 第 11 题

答案：C

难度评级：1610

小提示：

大提示：

解答：

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