2012 AMC 12B 第 11 题

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11.

在下面的等式中，

A

和

B

是连续正整数，并且

A

、

B

和

A + B

都表示数的进制：

132_A + 43_B = 69_{A+B}\text{。}

A + B

等于多少？

In the equation below,

A

and

B

are consecutive positive integers, and

A,

B,

and

A + B

represent number bases:

132_A + 43_B = 69_{A+B}.

What is

A + B?

9

11

13

15

17

答案：C

知识点：进制二次方程

难度评级：1560

小提示：

把每个数按它的进制展开，例如

132_A = A^2+3A+2

Rewrite each numeral in terms of its base, e.g.

132_A = A^2+3A+2

大提示：

分别尝试

B=A-1

和

B=A+1

，并解所得的关于

A

的二次方程

Try both

B=A-1

and

B=A+1

and solve the resulting quadratic in

A

解答：

展开各个数，

132_A=A^2+3A+2

，

43_B=4B+3

，且

69_{A+B}=6(A+B)+9

。

当

B=A+1

时，方程变为

A^2+3A+2

+4(A+1)+3

=6(2A+1)+9

，化简得

(A-6)(A+1)=0

。正整数解为

A=6

，所以

B=7

。

（当

B=A-1

时得到

A^2-5A-2=0

，没有整数解。）

因此

A+B=13

。

因此正确答案是 C。

Writing the numerals out,

132_A=A^2+3A+2,

43_B=4B+3,

and

69_{A+B}=6(A+B)+9.

With

B=A+1,

the equation becomes

A^2+3A+2

+4(A+1)+3

=6(2A+1)+9,

which simplifies to

(A-6)(A+1)=0.

The positive solution is

A=6,

so

B=7.

(The case

B=A-1

gives

A^2-5A-2=0,

which has no integer solution.)

Therefore

A+B=13.

Thus, the correct answer is C.

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