2010 AMC 12B 第 12 题

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12.

x

取何值时，

\begin{aligned} &\log_{\sqrt2}\sqrt{x}+\log_2 x \\ &\quad {}+\log_4\left(x^2\right)+\log_8\left(x^3\right) \\ &\quad {}+\log_{16}\left(x^4\right)=40 \end{aligned}\text{？}

For what value of

x

does

\begin{aligned} &\log_{\sqrt2}\sqrt{x}+\log_2 x \\ &\quad {}+\log_4\left(x^2\right)+\log_8\left(x^3\right) \\ &\quad {}+\log_{16}\left(x^4\right)=40? \end{aligned}

8

16

32

256

1024

答案：D

知识点：对数

难度评级：1500

小提示：

把每一项都换成以

2

为底；设

L=\log_2 x

Convert every term to base

2;

let

L=\log_2 x

大提示：

五项中的每一项都化简为

L

Each of the five terms simplifies to

L

解答：

设

L=\log_2 x

。把每一项都换成以

2

为底：

\log_{\sqrt2}\sqrt{x}=\dfrac{\frac{L}{2}}{\frac{1}{2}}=L

，

\log_2 x=L

，

\log_4 x^2=\dfrac{2L}{2}=L

，

\log_8 x^3=\dfrac{3L}{3}=L

，且

\log_{16}x^4=\dfrac{4L}{4}=L

。

方程变为

5L=40

，所以

L=8

，

x=2^8=256

。

因此，正确答案是 D。

Let

L=\log_2 x.

Converting each term to base

2:

\log_{\sqrt2}\sqrt{x}=\dfrac{\frac{L}{2}}{\frac{1}{2}}=L,

\log_2 x=L,

\log_4 x^2=\dfrac{2L}{2}=L,

\log_8 x^3=\dfrac{3L}{3}=L,

and

\log_{16}x^4=\dfrac{4L}{4}=L.

The equation becomes

5L=40,

so

L=8

and

x=2^8=256.

Thus, the correct answer is D.

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