2010 AMC 12A 第 11 题

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11.

方程

7^{x+7}=8^x

的解可表示为

x=\log_b 7^7

。求

b

？

The solution of the equation

7^{x+7}=8^x

can be expressed in the form

x=\log_b 7^7.

What is

b?

\dfrac{7}{15}

\dfrac{7}{8}

\dfrac{8}{7}

\dfrac{15}{8}

\dfrac{15}{7}

答案：C

知识点：对数指数

难度评级：1510

小提示：

x=\log_b 7^7

表示

b^x=7^7

。

x=\log_b 7^7

means

b^x=7^7

大提示：

通过相乘合并底数：

(7b)^x=7^x\cdot b^x=7^{x+7}

。

Multiply to combine the bases:

(7b)^x=7^x\cdot b^x=7^{x+7}

解答：

因为

x=\log_b 7^7

，所以

b^x=7^7

。

因此

\begin{aligned} (7b)^x=7^x\cdot b^x &= 7^x\cdot7^7 \\ &= 7^{x+7}=8^x \end{aligned}\text{。}

由于

x\gt0

，可得

7b=8

，所以

b=\dfrac{8}{7}

。

所以正确答案是 C。

Since

x=\log_b 7^7,

we have

b^x=7^7.

Then

\begin{aligned} (7b)^x=7^x\cdot b^x &= 7^x\cdot7^7 \\ &= 7^{x+7}=8^x. \end{aligned}

Because

x\gt0,

it follows that

7b=8,

so

b=\dfrac{8}{7}.

Thus, C is the correct answer.

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