Question

方程 $7^{x+7}=8^x$ 的解可表示为 $x=\log_b 7^7$ 。求 $b$ ？

The solution of the equation $7^{x+7}=8^x$ can be expressed in the form $x=\log_b 7^7.$ What is $b?$

$\dfrac{7}{15}$

$\dfrac{7}{8}$

$\dfrac{8}{7}$

$\dfrac{15}{8}$

$\dfrac{15}{7}$

知识点：对数指数

因为 $x=\log_b 7^7$ ，所以 $b^x=7^7$ 。

因此 $\begin{aligned} (7b)^x=7^x\cdot b^x &= 7^x\cdot7^7 \\ &= 7^{x+7}=8^x. \end{aligned}$

由于 $x\gt0$ ，可得 $7b=8$ ，所以 $b=\dfrac{8}{7}$ 。

所以正确答案是 C。

Since $x=\log_b 7^7,$ we have $b^x=7^7.$

Then $\begin{aligned} (7b)^x=7^x\cdot b^x &= 7^x\cdot7^7 \\ &= 7^{x+7}=8^x. \end{aligned}$

Because $x\gt0,$ it follows that $7b=8,$ so $b=\dfrac{8}{7}.$

Thus, C is the correct answer.