Question

小于 $1000$ 的正整数中，有多少个等于其各位数字和的 $6$ 倍？

How many positive integers less than $1000$ are $6$ times the sum of their digits?

$0$

$1$

$2$

$4$

$12$

答案：B

知识点：数字极限情形界定分类讨论

难度评级：1730

解答：

如果 $N = 6\cdot(\text{digit sum})$ ，那么由于小于 $1000$ 的数的数字和最大为 $27$ ，可得 $N \le 162$ 。

对于两位数， $10t + u = 6(t + u)$ ，得 $4t = 5u$ ，因而 $t = 5$ 且 $u = 4$ ，所以 $N = 54$ 。一位数需要 $6u = u$ ，对 $u \gt 0$ 不可能。三位数满足 $100h + 10t + u = 6(h + t + u)$ ，给出 $94h + 4t = 5u$ ，左边至少为 $94$ ，右边至多为 $45$ ，所以没有解。

因此恰好有一个数 $54$ ，满足条件。

因此，正确答案是 B。

If $N = 6\cdot(\text{digit sum}),$ then since the digit sum of a number below $1000$ is at most $27,$ we have $N \le 162.$

For a two-digit number $10t + u = 6(t + u)$ gives $4t = 5u,$ forcing $t = 5$ and $u = 4,$ so $N = 54.$ A one-digit number would need $6u = u,$ impossible for $u \gt 0.$ A three-digit number $100h + 10t + u = 6(h + t + u)$ gives $94h + 4t = 5u,$ whose left side is at least $94$ while the right side is at most $45,$ so there is no solution.

Hence exactly one number, $54,$ works.

Thus, the correct answer is B.

2009 AMC 12A 第 12 题

答案：B

难度评级：1730

解答：

其他年份的第 12 题