2008 AMC 12A 第 15 题

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15.

设

k = 2008^2 + 2^{2008}

。

k^2 + 2^k

的个位数字是多少？

Let

k = 2008^2 + 2^{2008}.

What is the units digit of

k^2 + 2^k?

0

2

4

6

8

答案：D

知识点：个位数字模幂运算

难度评级：1740

小提示：

2^n

的个位数字按

2, 4, 8, 6

循环，周期为

4

。

The units digit of

2^n

cycles

2, 4, 8, 6

with period

4

大提示：

先求

k

的个位数字，再注意

k

是

4

的倍数。

Find the units digit of

k

first, then note that

k

is a multiple of

4

解答：

2008^2

的个位数字为

4

。因为

2008

是

4

的倍数，

2^{2008}

的个位数字为

6

。所以

k

的个位数字为

0

，从而

k^2

的个位数字也为零。

又

2008^2

和

2^{2008}

都是

4

的倍数，故

k

是

4

的倍数，因此

2^k

的个位数字为

6

。

因此

k^2 + 2^k

的个位数字为

0 + 6 = 6

。

所以正确答案是 D。

The units digit of

2008^2

is

4.

Since

2008

is a multiple of

4,

the units digit of

2^{2008}

is

6.

Thus

k

has units digit

0,

and so does

k^2.

Both

2008^2

and

2^{2008}

are multiples of

4,

so

k

is a multiple of

4.

Therefore the units digit of

2^k

is

6.

The units digit of

k^2 + 2^k

is then

0 + 6 = 6.

Thus, D is the correct answer.

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